《2025年启东中学作业本八年级数学上册江苏版》

8. 如图，已知 $ A(0,1),B(3,2) $，将线段 $ AB $ 绕点 $ A $ 按顺时针方向旋转 $ 90^{\circ} $ 后，得到线段 $ AB' $，则点 $ B' $ 的坐标是________(1,-2).

答案： 1. 首先，过点$B$作$BC\perp y$轴于点$C$，过点$B'$作$B'D\perp y$轴于点$D$：
已知$A(0,1)$，$B(3,2)$，则$AC = 2 - 1=1$，$BC = 3$。
因为$\angle BAB'=90^{\circ}$，$\angle BCA=\angle ADB' = 90^{\circ}$，所以$\angle BAC+\angle B'AD = 90^{\circ}$，$\angle B'AD+\angle AB'D = 90^{\circ}$。
根据同角的余角相等，可得$\angle BAC=\angle AB'D$。
又因为$AB = AB'$（旋转的性质：旋转前后对应线段相等）。
2. 然后，证明$\triangle ABC\cong\triangle B'AD(AAS)$：
在$\triangle ABC$和$\triangle B'AD$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle BCA=\angle ADB'\\\angle BAC=\angle AB'D\\AB = AB'\end{array}\right.$。
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），所以$\triangle ABC\cong\triangle B'AD$。
由全等三角形的性质可知：$AD = BC$，$B'D = AC$。
3. 最后，求点$B'$的坐标：
已知$AC = 1$，$BC = 3$，则$AD = 3$，$B'D = 1$。
因为$OA = 1$，所以$OD=AD - OA=3 - 1 = 2$。
又因为点$B'$在$y$轴下方，$x$轴右侧，所以点$B'$的坐标是$(1,-2)$。
故答案为$(1,-2)$。

9. 在平面直角坐标系中，直线 $ l $ 是经过点 $ (2,0) $ 且平行于 $ y $ 轴的直线，若点 $ P(a,-2) $ 与点 $ Q(4,b) $ 关于直线 $ l $ 对称，则 $ a - b = $2.

答案： 2

10. (2024·鼓楼区月考) 如图，已知方格纸中每个小方格都是边长为 $ 1 $ 个单位长度的正方形，现有 $ A,B,C $ 三点，其中点 $ A $ 的坐标为 $ (-4,1) $，点 $ B $ 的坐标为 $ (1,1) $.
(1) 请根据点 $ A,B $ 的坐标在方格纸中建立平面直角坐标系，并直接写出点 $ C $ 的坐标；
(2) 依次连接 $ A,B,C,A $，得到 $ \triangle ABC $，请判断 $ \triangle ABC $ 的形状，并说明理由；
(3) 若点 $ C $ 关于直线 $ AB $ 的对称点为点 $ D $，则点 $ D $ 的坐标为______；
(4) 在 $ y $ 轴上找一点 $ F $，使 $ \triangle ABF $ 的面积等于 $ \triangle ABD $ 的面积，则点 $ F $ 的坐标为__________.

答案：

(1)解:建立平面直角坐标系如答图，C(-3,3).
　　　　　
(2)解:△ABC为直角三角形.理由:由图，可知$AB^{2}=(1+4)^{2}=25,AC^{2}=1^{2}+2^{2}=5,BC^{2}=2^{2}+4^{2}=20$,
　
∵20+5=25,即$BC^{2}+AC^{2}=AB^{2}$,
　
∴△ABC为直角三角形.
(3)(-3,-1)
(4)(0,-1)或(0,3)

11. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $ l $ 过点 $ M(3,0) $，且平行于 $ y $ 轴.
(1) 如果 $ \triangle ABC $ 三个顶点的坐标分别是 $ A(-2,0),B(-1,0),C(-1,2) $，$ \triangle ABC $ 关于 $ y $ 轴的对称图形是 $ \triangle A_1B_1C_1 $，$ \triangle A_1B_1C_1 $ 关于直线 $ l $ 的对称图形是 $ \triangle A_2B_2C_2 $，写出 $ \triangle A_2B_2C_2 $ 的三个顶点的坐标：$ A_2 $(4,0)，$ B_2 $(5,0)，$ C_2 $(5,2)；
(2) 如果点 $ P $ 的坐标是 $ (-a,0) $，其中 $ a ＞ 0 $，点 $ P $ 关于 $ y $ 轴的对称点是 $ P_1 $，点 $ P_1 $ 关于直线 $ l $ 的对称点是 $ P_2 $，求 $ PP_2 $ 的长6.

答案： 解:
(1)△A₂BC的三个顶点的坐标分别是A₂(4,0),B(5,0),C(5,2).
(2)
∵点P与点P₁关于y轴对称,P(-a,0),
　
∴P₁(a,0).
　设P₂(x,0),又
∵点P₁与点P₂关于直线l:x=3对称,
∴$\frac{x+a}{2}$=3,即x=6−a,
∴P₂(6−a,0),
则PP₂=6−a−(-a)=6−a+a=6.