《2025年启东中学作业本八年级数学上册江苏版》

2.【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠,充满着魅力.如图①是著名的赵爽弦图,由四个全等的直角三角形拼成,用它可以证明勾股定理,思路是大正方形的面积有两种求法,一种是等于$c^{2}$,另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和,即$\frac {1}{2}ab×4+(b-a)^{2}$,从而得到等式$c^{2}=\frac {1}{2}ab×4+(b-a)^{2}$,化简便得结论$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法,我们称之为“双求法”.

【方法运用】千百年来,人们争先恐后地证明勾股定理,其中有著名的数学家,也有业余数学爱好者.向常春构造发现了一个新的证法:把两个全等的直角$△ABC$和$△DEA$如图②放置,其三边长分别为a,b,c,$∠BAC=∠DEA=90^{\circ }$,显然$BC⊥AD$.
(1)请用a,b,c分别表示出四边形ABDC,梯形AEDC,$△EBD$的面积,再探究这三个图形面积之间的关系,证明勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
证明: $\because S_{四边形 ABDC}=$$\frac{1}{2}c^{2}$,$S_{梯形 AEDC}=$$\frac{1}{2}(b+a)b$, $S_{\triangle BED}=$$\frac{1}{2}(a - b)a$,$S_{四边形 ABDC}=S_{梯形 AEDC}+S_{\triangle BED}$,
$\begin{aligned}\therefore \frac{1}{2}c^{2}&=\frac{1}{2}(b+a)b+\frac{1}{2}(a - b)a,\\\therefore \frac{1}{2}c^{2}&=\frac{1}{2}b^{2}+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{2}ab,\\\therefore a^{2}+b^{2}&=c^{2}.\end{aligned}$
(2)如图③,在$△ABC$中,AD是BC边上的高,$AB=4,AC=5,BC=6$,设$BD=x$,求x的值.
解: 在 $Rt\triangle ABD$ 中, 由勾股定理得 $AD^{2}=AB^{2}-BD^{2}=4^{2}-x^{2}=$$16 - x^{2}$,
$\because BD + CD = BC = 6$,
$\therefore CD = BC - BD=$$6 - x$.
在 $Rt\triangle ACD$ 中, 由勾股定理得 $AD^{2}=AC^{2}-CD^{2}=5^{2}-(6 - x)^{2}=$$-11 + 12x - x^{2}$,
$\therefore 16 - x^{2}=-11 + 12x - x^{2},\therefore x=$$\frac{9}{4}$.

答案： 2.
(1) 证明: $\because S_{四边形 ABDC}=\frac{1}{2}c^{2},S_{梯形 AEDC}=\frac{1}{2}(b+a)b$, $S_{\triangle BED}=\frac{1}{2}(a - b)a,S_{四边形 ABDC}=S_{梯形 AEDC}+S_{\triangle BED}$,
$\begin{aligned}\therefore \frac{1}{2}c^{2}&=\frac{1}{2}(b+a)b+\frac{1}{2}(a - b)a,\\\therefore \frac{1}{2}c^{2}&=\frac{1}{2}b^{2}+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{2}ab,\\\therefore a^{2}+b^{2}&=c^{2}.\end{aligned}$
(2) 解: 在 $Rt\triangle ABD$ 中, 由勾股定理得 $AD^{2}=AB^{2}-BD^{2}=4^{2}-x^{2}=16 - x^{2}$,
$\because BD + CD = BC = 6$,
$\therefore CD = BC - BD = 6 - x$.
在 $Rt\triangle ACD$ 中, 由勾股定理得 $AD^{2}=AC^{2}-CD^{2}=5^{2}-(6 - x)^{2}=-11 + 12x - x^{2}$,
$\therefore 16 - x^{2}=-11 + 12x - x^{2},\therefore x=\frac{9}{4}.$