《2025年启东中学作业本八年级数学上册江苏版》

10.如图,在$\triangle ABC$中,$D$是边$BC$的中点,$E$是边$AC$的中点,连接$AD,BE$.
(1)若$CD=8,CE=6,AB=20$,求证:$\angle C=90^{\circ }$;
证明:∵D是边BC的中点，E是边AC的中点，CD=8,CE=6,
　　∴AC=2CE=12,BC=2CD=16,
　　∵AB=20,∴$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$,
　　∴△ABC是直角三角形，∴∠C=90°.
(2)若$\angle C=90^{\circ },AD=13,AE=6$,求$\triangle ABC$的面积.
解:∵E是边AC的中点,AE=6,
　　∴AC=2AE=12.
　　在Rt△ACD中,∵∠C=90°,AC=12,AD=13,
　　∴CD=5,∴BC=2CD=10,
　　∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}×12×10=60$.

答案：
(1)证明:
∵D是边BC的中点，E是边AC的中点，CD=8,CE=6,
　
∴AC=2CE=12,BC=2CD=16,
　
∵AB=20,
∴$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$,
　
∴△ABC是直角三角形，
∴∠C=90°.
(2)解:
∵E是边AC的中点,AE=6,
　
∴AC=2AE=12.
　　在Rt△ACD中,
∵∠C=90°,AC=12,AD=13,
　
∴CD=5,
∴BC=2CD=10,
　
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}\times12\times10=60$.

11.如图,$AD=8,CD=6,\angle ADC=90^{\circ },AB=26,BC=24$,求该图形的面积.

答案：
解:如答图,连接AC.在Rt△ACD中,AD=8,CD=6,
　
∴$AC^{2}=AD^{2}+CD^{2}=100$,即AC=10.
　　　　　
　
∵在△ABC中,$AC^{2}+BC^{2}=10^{2}+24^{2}=26^{2}=AB^{2}$,
∴△ABC为直角三角形，
　
∴该图形的面积为
　　$S_{\triangle ABC}-S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}\times10\times24-\frac{1}{2}\times6\times8=96$.

12.如图,P是等边△ABC内一点,PA=6,PB=8,PC=10.若P'是△ABC外一点,且△P'AB≌△PAC,求点P与点P'之间的距离及∠APB的度数.

点P与点P'之间的距离为6，∠APB的度数为150°.

答案： 解:
∵△PAC≌△P'AB,
　
∴PA=P'A,PC=P'B,∠P'AB=∠PAC,
　
∴∠P'AP=∠BAC=60°,
　
∴△APP'为等边三角形,
∴PP'=AP=AP'=6.
　
∵$PP'^{2}+BP^{2}=BP'^{2}$,
　
∴△BPP'为直角三角形,且∠BPP'=90°,
　
∴∠APB=90°+60°=150°.

13.王老师在一次“探究性学习”课中,设计了如下数表:
| $n$ | 2 | 3 | 4 | 5 | $\cdots$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $a$ | $2^{2}-1$ | $3^{2}-1$ | $4^{2}-1$ | $5^{2}-1$ | $\cdots$ |
| $b$ | 4 | 6 | 8 | 10 | $\cdots$ |
| $c$ | $2^{2}+1$ | $3^{2}+1$ | $4^{2}+1$ | $5^{2}+1$ | $\cdots$ |
(1)请你分别观察$a,b,c$与$n$之间的关系,并用含自然数$n(n＞1)$的代数式表示:
$a=$$n^{2}-1$,$b=$$2n$,$c=$$n^{2}+1$.
(2)猜想:以$a,b,c$为边的三角形是否为直角三角形? 并说明理由.
(3)请你观察下列四组勾股数:$(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(9,40,41)$,分析其中的规律,直接写出第五组勾股数:$(11,60,61)$.

答案：
(1)$n^{2}-1$　2n　$n^{2}+1$
(2)解:猜想:以a,b,c为边的三角形是直角三角形.
　理由:
∵$a = n^{2}-1$,$b = 2n$,$c = n^{2}+1$,
　
∴$a^{2}+b^{2}=(n^{2}-1)^{2}+4n^{2}=n^{4}+2n^{2}+1=(n^{2}+1)^{2}=c^{2}$,
∴以a,b,c为边的三角形是直角三角形.
(3)(11,60,61)