《2025年启东中学作业本八年级数学上册江苏版》

12. 正数 a 的两个平方根是方程 $3 x+2 y=2$ 的一组解, 则 $a=$4.

答案： 4

13. 求下列各式中的 x 的值:
(1)$25 x^2=144$; $x = \pm \frac{12}{5}$
(2)$(2 x-1)^2=169$; $x = -6$或$x = 7$
(3)$4(3 x+1)^2=1$; $x = -\frac{1}{2}$或$x = -\frac{1}{6}$
(4)$36(x-1)^2-25=0$. $x = \frac{11}{6}$或$x = \frac{1}{6}$

答案： 解:
(1) $\because x^2 = \frac{144}{25}$, $\therefore x = \pm \frac{12}{5}$.
(2) $\because (2x - 1)^2 = 169$, $\therefore 2x - 1 = \pm 13$.
当 $2x - 1 = -13$ 时, 解得 $x = -6$;
当 $2x - 1 = 13$ 时, 解得 $x = 7$.
(3) $\because (3x + 1)^2 = \frac{1}{4}$, $\therefore 3x + 1 = \pm \frac{1}{2}$.
当 $3x + 1 = -\frac{1}{2}$ 时, 解得 $x = -\frac{1}{2}$;
当 $3x + 1 = \frac{1}{2}$ 时, 解得 $x = -\frac{1}{6}$.
(4) $\because (x - 1)^2 = \frac{25}{36}$, $\therefore x - 1 = \pm \frac{5}{6}$.
当 $x - 1 = \frac{5}{6}$ 时, 解得 $x = \frac{11}{6}$;
当 $x - 1 = -\frac{5}{6}$ 时, 解得 $x = \frac{1}{6}$.

14. 某小区准备修建一个面积为 $75 \mathrm{~m}^2$ 的花坛, 甲、乙两个工程队给出如下两个施工方案.
甲: 花坛为长方形, 且长与宽的比为 $3: 1$.
乙: 花坛为正方形.
(1) 求长方形花坛的宽;
(2) 嘉淇说: “正方形花坛的边长肯定比长方形花坛的宽长 $3 \mathrm{~m}$.”请你判断嘉淇的说法是否正确, 并通过计算说明.
(1) 设长方形花坛的宽为 $x$ m, 则长为 $3x$ m,
由题意得 $x \cdot 3x = 3x^2 = 75$, 即 $x^2 = 25$, 因此 $x =$5,
所以长方形花坛的宽为 5m.
(2) 嘉淇的说法错误, 理由如下:
由 (1) 知长方形花坛的宽为 5 m, 若嘉淇的说法正确, 则
正方形花坛的边长为 $5 + 3 =$8(m),
则正方形花坛的面积为 $8^2 =$64($m^2$) $\neq 75$ ($m^2$),
因此假设不成立, 即嘉淇的说法错误.

答案： 解:
(1) 设长方形花坛的宽为 $x$ m, 则长为 $3x$ m,
由题意得 $x \cdot 3x = 3x^2 = 75$, 即 $x^2 = 25$, 因此 $x = 5$,
所以长方形花坛的宽为 5 m.
(2) 嘉淇的说法错误, 理由如下:
由
(1) 知长方形花坛的宽为 5 m, 若嘉淇的说法正确, 则
正方形花坛的边长为 $5 + 3 = 8$ (m),
则正方形花坛的面积为 $8^2 = 64$ ($m^2$) $\neq 75$ ($m^2$),
因此假设不成立, 即嘉淇的说法错误.

15. 小明是一位善于思考、勇于创新的同学. 在学习了有关平方根的知识后, 小明知道负数没有平方根, 比如: 因为没有一个数的平方等于 -1 , 所以 -1 没有平方根. 有一天, 小明想: 如果存在一个数 $\mathrm{i}$, 使 $\mathrm{i}^2=-1$, 那么 $(-\mathrm{i})^2=-1$, 因此 -1 就有两个平方根了. 进一步, 小明想: 因为 $( \pm 2 \mathrm{i})^2=-4$, 所以 -4 的平方根就是 $\pm 2 \mathrm{i}$; 因为 $( \pm 3 \mathrm{i})^2=-9$, 所以 -9 的平方根就是 $\pm 3 \mathrm{i}$.
请你根据上面的信息解答下列问题:
(1) 求 -16,-25 的平方根;
(2) 求 $\mathrm{i}^3, \mathrm{i}^4, \mathrm{i}^5, \mathrm{i}^6, \mathrm{i}^7, \mathrm{i}^8$ 的值, 你发现了什么规律? 将你发现的规律用式子表示出来.
(1)$\pm 4\mathrm{i}$，$\pm 5\mathrm{i}$
(2)$\mathrm{i}^3=$$-i$, $\mathrm{i}^4=$$1$, $\mathrm{i}^5=$$i$, $\mathrm{i}^6=$$-1$, $\mathrm{i}^7=$$-i$, $\mathrm{i}^8=$$1$.
规律:$\mathrm{i}$的$n$次方（$n$为正整数）的值每四个一循环，即$\mathrm{i}$，$-1$，$-\mathrm{i}$，$1$

答案： 解:
(1) $\because (\pm 4i)^2 = -16$, $\therefore \pm \sqrt{-16} = \pm 4i$.
$\because (\pm 5i)^2 = -25$, $\therefore \pm \sqrt{-25} = \pm 5i$.
(2) $i^3 = i^2 \cdot i = -i$, $i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1$,
$i^5 = i^4 \cdot i = i$, $i^6 = i^5 \cdot i = i^2 = -1$, $i^7 = i^6 \cdot i = -i$,
$i^8 = i^7 \cdot i = 1$.
规律: $i$ 的 $n$ 次方 ($n$ 为正整数) 的值每四个一循环, 即 $i$,
$-1$, $-i$, $1$.