《2025年启东中学作业本八年级数学上册江苏版》

1.【数学探究】折纸是我国的传统文化，在折叠的过程中可以开发人类大脑智力，提高逻辑思维能力. 数学综合实践课上，老师组织同学们开展了一次折纸探究活动.
(1)探究一：如图①，在一张长方形纸片上任意画一条线AB，将纸片沿AB折叠，重叠的部分△ABC一定是______三角形.
(2)探究二：你能用一张长方形纸片折出一个等边三角形吗?
甲小组使用长方形纸片，操作如下：如图②，把长方形纸片ABCD的宽对折，然后展开，折痕记为EF，再将点D翻折到EF上的点M处，且使折痕过点A，折痕与CD的交点为G，再沿GM折叠，折痕与AB的交点为H，则△AHG就是一个等边三角形.
请你说明这样做的道理. (说明：M是GH的中点，说理时可直接使用)
(3)探究三：你能用一张正方形纸片折出一个等边三角形吗?
乙小组使用正方形纸片，操作如下：如图③，先把正方形纸片ABCD对折后再展开，折痕为EF；再将点A翻折到EF上的点H处，且使折痕过点B；最后沿HC折叠，得到的△HBC就是一个等边三角形.
请你说明这样做的道理.
【迁移应用】折纸也能为我们数学学习提供解决问题的思路和方法.
例如，在△ABC中，AB＞AC，怎样说明∠C＞∠B呢? 小亮发现，利用折纸做一个轴对称变换，得到一对全等的三角形，从而可将问题解决.
(4)请画图并说明小亮的解题思路.

答案：

(1) 等腰
(2) 解: 如答图①, 连接 $ AM $. 在 $ \triangle AMG $ 和 $ \triangle AMH $ 中, $ AM = AM $, $ \angle AMG = \angle AMH = 90^{\circ} $, $ MG = MH $,
所以 $ \triangle AMG \cong \triangle AMH (SAS) $,
所以 $ AG = AH $, $ \angle GAM = \angle HAM $.
由折叠知 $ \angle DAG = \angle GAM $,
所以 $ \angle DAG = \angle GAM = \angle MAH $,
所以 $ \angle GAH = 60^{\circ} $, 所以 $ \triangle AHG $ 是一个等边三角形.
(3) 由折叠得 $ BH = AB = BC $,
由折叠得 $ EF $ 为 $ BC $ 的垂直平分线,
所以 $ HC = BH $, 所以 $ BH = HC = BC $,
所以 $ \triangle HBC $ 是等边三角形.
(4) 思路: 如答图②, 把点 $ C $ 翻折到 $ AB $ 上的点 $ C' $ 处, 折痕过点 $ A $, 折痕与 $ BC $ 交于点 $ D $.
依据以上操作, 可得 $ \triangle ACD \cong \triangle AC'D $,
所以 $ \angle AC'D = \angle C $,
因为 $ \angle AC'D ＞ \angle B $, 所以 $ \angle C ＞ \angle B $.