《2025年启东中学作业本八年级数学上册江苏版》

8. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle BAC $ 为钝角，$ AF $，$ CE $ 都是这个三角形的高，$ P $ 为 $ AC $ 的中点，若 $ \angle B = 42^{\circ} $，则 $ \angle EPF $ 的度数为96°。

答案： 96°

9. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AD $ 是边 $ BC $ 上的高，$ CF $ 是边 $ AB $ 上的中线，且 $ DC = BF $，$ DE \perp CF $ 于点 $ E $。
(1) 点 $ E $ 是 $ CF $ 的中点吗？试说明理由；
(2) 求证：$ \angle B = 2\angle BCF $。

答案：

(1)解:点E是CF的中点.理由:如答图，连接DF;
　　
∵AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，
∴DF=BF=$\frac{1}{2}$AB.
∵DC=BF,
∴CD=DF.
∵DE⊥CF,
∴点E是CF的中点.
(2)证明:由
(1)中DF=BF得∠FDB=∠FBD.
∵DC=DF,
∴∠DCF=∠DFC,
　由外角的性质得∠FDB=∠DCF+∠DFC=2∠DCF,
∴∠B=2∠BCF;

10. 在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle A = 90^{\circ} $，$ AB = AC $，点 $ D $ 为 $ BC $ 的中点。
(1) 如图①，若点 $ E $，$ F $ 分别为 $ AB $，$ AC $ 上的点，且 $ DE \perp DF $，求证：$ BE = AF $；
(2) 若点 $ E $，$ F $ 分别为 $ AB $，$ CA $ 延长线上的点，且 $ DE \perp DF $，那么 $ BE = AF $ 吗？请利用图②说明理由。

答案：

(1)证明:连接AD,如答图①.
　
∵∠BAC=90°,AB=AC,
　
∴△ABC为等腰直角三角形,∠EBD=45°.
　
∵点D为BC的中点，
　
∴AD=$\frac{1}{2}$BC=BD,∠FAD=45°.
　
∵∠BDE+∠EDA=90°,∠EDA+∠ADF=90°,
　
∴∠BDE=∠ADF.
　　在△BDE和△ADF中，$\begin{cases}∠EBD=∠FAD，\\BD=AD，\\∠BDE=∠ADF，\end{cases}$
　
∴△BDE≌△ADF(ASA),
　
∴BE=AF.
　　
(2)解:BE=AF,理由如下:
　　连接AD,如答图②.由
(1)知AD=BD.
　
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠ABD=∠BAD=45°,
∴∠EBD=∠FAD=135°.
∵∠EDB+∠BDF=90°,∠BDF+∠FDA=90°,
∴∠EDB=∠FDA.
　　在△EDB和△FDA中，$\begin{cases}∠EBD=∠FAD，\\BD=AD，\\∠EDB=∠FDA，\end{cases}$
　
∴△EDB≌△FDA(ASA),
　
∴BE=AF.