《2025年启东中学作业本八年级数学上册江苏版》

4. 已知：$Rt\triangle ABC$中，$\angle BAC=90^{\circ }$，$AB=AC$，点$D$是$BC$的中点，点$P$是$BC$边上的一个动点。
(1)如图①，若点$P$与点$D$重合，连接$AP$，则$AP$与$BC$的位置关系是AP ⊥ BC；
(2)如图②，若点$P$在线段$BD$上，过点$B$作$BE\perp AP$，交$AP$的延长线于点$E$，过点$C$作$CF\perp AP$于点$F$，则$CF$，$BE$和$EF$这三条线段之间的数量关系是CF = BE + EF；
(3)如图③，在(2)的条件下，若$BE$的延长线交$AD$的延长线于点$M$，找出图中与$CP$相等的线段，并加以证明；
(4)如图④，已知$BC=4$，$AD=2$，若点$P$从点$B$出发沿着$BC$向点$C$运动，过点$B$作$BE\perp$直线$AP$于点$E$，过点$C$作$CF\perp$直线$AP$于点$F$，设线段$BE$的长度为$d_{1}$，线段$CF$的长度为$d_{2}$，试求出在点$P$的运动过程中，$d_{1}+d_{2}$的最大值。

答案：
(1) AP ⊥ BC
(2) CF = BE + EF
(3) 解: CP = AM。
证明:
∵BE ⊥ AP，CF ⊥ AP，
∴∠BEA = ∠AFC，
∴∠BAE + ∠CAP = 90°，∠ACF + ∠CAP = 90°，
∴∠BAE = ∠ACF。
∵AB = AC，
∴△BAE ≌ △ACF，
∴AE = CF。
又易知 ∠BAD = ∠ACD = 45°，
∴∠EAM = ∠FCP。
在 △CFP 和 △AEM 中，$\left\{\begin{array}{l} \angle FCP = \angle EAM, \\ CF = AE, \\ \angle CFP = \angle AEM, \end{array}\right.$
∴△CFP ≌ △AEM，
∴CP = AM。
(4) 解: $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times AD = 4$，
由图形可知，$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle APB} + S_{\triangle APC} = \frac{1}{2} \times AP \times BE + \frac{1}{2} \times AP \times CF = \frac{1}{2} \times AP \times (d_1 + d_2)$，
∴$d_1 + d_2 = \frac{2 \times 4}{AP}$，
当 AP ⊥ BC 时，AP 最小，则 $d_1 + d_2$ 最大，此时 AP = 2，
∴$d_1 + d_2$ 的最大值为 $\frac{2 \times 4}{2} = 4$。

5. (2023·东台月考)如图，在$\triangle ABC$和$\triangle ADE$中，$AB=AC$，$AD=AE$，$\angle BAC=\angle DAE=90^{\circ }$，连接$BD$，$CE$。
(1)当点$D$在$AC$上时，如图①，线段$BD$，$CE$有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由；
(2)将图①中的$\triangle ADE$绕点$A$顺时针旋转$\alpha (0^{\circ }＜\alpha ＜90^{\circ })$，如图②，线段$BD$，$CE$有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由。

答案：
解:
(1) BD = CE，EC ⊥ BD。
理由: 如答图①，延长 BD 交 CE 于点 F。
在 △EAC 和 △DAB 中，$\left\{\begin{array}{l} AE = AD, \\ \angle EAC = \angle DAB, \\ AC = AB, \end{array}\right.$
∴△EAC ≌ △DAB(SAS)，
∴BD = CE，∠ABD = ∠ACE，
∵∠AEC + ∠ACE = 90°，
∴∠ABD + ∠AEC = 90°，
∴∠BFE = 90°，即 EC ⊥ BD。
(2) BD = CE，EC ⊥ BD。
理由: 如答图②，延长 BD 交 CE 于点 F。
∵∠BAD + ∠CAD = 90°，∠CAD + ∠EAC = 90°，
∴∠BAD = ∠EAC。
在 △DAB 和 △EAC 中，$\left\{\begin{array}{l} AD = AE, \\ \angle BAD = \angle EAC, \\ AB = AC, \end{array}\right.$
∴△DAB ≌ △EAC(SAS)，
∴BD = CE，∠ABD = ∠ACE，
∵∠ABC + ∠ACB = 90°，
∴∠CBF + ∠BCF = ∠ABC - ∠ABD + ∠ACB + ∠ACE = 90°，
∴∠BFC = 90°，即 EC ⊥ BD。