《2025年启东中学作业本八年级数学上册江苏版》

1. (2023·鼓楼区月考)如图，$AB=DE$，$AC=DF$，$BE=CF$。求证：
(1)$\triangle ABC\cong \triangle DEF$；
证明: ∵BE = CF，∴BE + CE = CF + EC，即 BC = EF。
在 △ABC 和 △DEF 中，
$\left\{\begin{array}{l} AB = DE, \\ AC = DF, \\ BC = EF, \end{array}\right.$ ∴△ABC ≌ △DEF(SSS)。
(2)$AB// DE$。
证明: ∵△ABC ≌ △DEF，
∴∠B = ∠DEF，∴AB // DE(同位角相等，两直线平行)。

答案： 证明:
(1)
∵BE = CF，
∴BE + CE = CF + EC，即 BC = EF。
在 △ABC 和 △DEF 中，
$\left\{\begin{array}{l} AB = DE, \\ AC = DF, \\ BC = EF, \end{array}\right.$
∴△ABC ≌ △DEF(SSS)。
(2)
∵△ABC ≌ △DEF，
∴∠B = ∠DEF，
∴AB // DE。

2. (2024·兴化三模)如图，在$\triangle ABC$中，$AC＞AB$，射线$AD$平分$\angle BAC$，交$BC$于点$E$，点$F$在边$AB$的延长线上，$AF=AC$，连接$EF$。
(1)求证：$\triangle AEC\cong \triangle AEF$；
证明: ∵射线 AD 平分 ∠BAC，∴∠CAE = ∠FAE。
在 △AEC 和 △AEF 中，$\left\{\begin{array}{l} AC = AF, \\ \angle CAE = \angle FAE, \\ AE = AE, \end{array}\right.$
∴△AEC ≌ △AEF(SAS)。
(2)若$\angle AEB=50^{\circ }$，求$\angle BEF$的度数。
解: ∵△AEC ≌ △AEF，∴∠C = ∠F。
∵∠AEB = ∠CAE + ∠C = 50°，∴∠FAE + ∠F = 50°，
∵∠FAE + ∠F + ∠AEB + ∠BEF = 180°，
∴∠BEF = 80°。

答案：
(1) 证明:
∵射线 AD 平分 ∠BAC，
∴∠CAE = ∠FAE。
在 △AEC 和 △AEF 中，$\left\{\begin{array}{l} AC = AF, \\ \angle CAE = \angle FAE, \\ AE = AE, \end{array}\right.$
∴△AEC ≌ △AEF(SAS)。
(2) 解:
∵△AEC ≌ △AEF，
∴∠C = ∠F。
∵∠AEB = ∠CAE + ∠C = 50°，
∴∠FAE + ∠F = 50°，
∵∠FAE + ∠F + ∠AEB + ∠BEF = 180°，
∴∠BEF = 80°。

3. 已知$\angle ABC=90^{\circ }$，$FA\perp AB$于点$A$，$D$是直线$AB$上的点，$AD=BC$，$AF=BD$，连接$DC$，$DF$，$CF$。
(1)如图①，$AF$，$BC$在$AB$的同侧，点$D$在线段$AB$上，$DF$与$DC$的数量关系为相等(或 DF = DC)，位置关系为垂直(或 DF ⊥ DC)；
(2)如图②，点$D$在线段$AB$的延长线上，$AF$，$BC$在$AB$的异侧，(1)中结论是否成立？请说明理由。

答案：
(1) 相等(或 DF = DC) 垂直(或 DF ⊥ DC)
(2) 解: 成立，理由如下:
∵AF ⊥ AB，
∴∠DAF = 90°，
∵∠ABC = 90°，
∴∠CBD = 90°，
∴∠DAF = ∠CBD。
在 △ADF 与 △BCD 中，
$\left\{\begin{array}{l} AF = DB, \\ \angle DAF = \angle CBD, \\ AD = BC, \end{array}\right.$
∴△ADF ≌ △BCD(SAS)，
∴DF = CD，∠ADF = ∠BCD，
∵∠BCD + ∠CDB = 90°，
∴∠ADF + ∠CDB = 90°，
即 ∠CDF = 90°，
∴CD ⊥ DF。