《2025年启东中学作业本八年级数学上册江苏版》

8. 如图，小丽坐在秋千的起始位置$A$处，$OA$与地面垂直，小丽两脚在地面上用力一蹬，妈妈在$B$处接住她后用力一推，爸爸在$C$处接住她。若点$B$距离地面的高度为$1.5m$，点$B$到$OA$的距离$BD$为$1.7m$，点$C$距离地面的高度是$1.6m$，$∠BOC=90^{\circ}$，则点$C$到$OA$的距离$CE$为______1.8m。

答案： 1.8

9. 如图，在四边形$ABCD$中，$E$为$BC$边的中点。若$AE$平分$∠BAD$，$∠AED=90^{\circ}$，$F$为$AD$上一点，$AF=AB$。
求证：（1）$\triangle ABE≌\triangle AFE$；
（2）$AD=AB+CD$。
证明：(1) ∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠FAE，
在△ABE和△AFE中，$\left\{\begin{array}{l} AB=AF,\\ ∠BAE=∠FAE,\\ AE=AE,\end{array}\right.$
∴△ABE≌△AFE(SAS).
(2) 由(1)知，△ABE≌△AFE，∴EB=EF，∠AEB=∠AEF，∵∠BEC=180°，∠AED=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°，∠AEF+∠DEF=90°，
∴∠DEC=∠DEF，∵点E为BC的中点，∴EB=EC，
∴EF=EC，
在△ECD和△EFD中，$\left\{\begin{array}{l} EC=EF,\\ ∠DEC=∠DEF,\\ ED=ED,\end{array}\right.$
∴△ECD≌△EFD(SAS)，∴DC=DF，
∵AD=AF+DF，AB=AF，
∴AD=AB+CD.

答案： 证明：
(1)
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠FAE，
在△ABE和△AFE中，$\left\{\begin{array}{l} AB=AF,\\ ∠BAE=∠FAE,\\ AE=AE,\end{array}\right.$
∴△ABE≌△AFE(SAS).
(2) 由
(1)知，△ABE≌△AFE，
∴EB=EF，∠AEB=∠AEF，
∵∠BEC=180°，∠AED=90°，
∴∠AEB+∠DEC=90°，∠AEF+∠DEF=90°，
∴∠DEC=∠DEF，
∵点E为BC的中点，
∴EB=EC，
∴EF=EC，
在△ECD和△EFD中，$\left\{\begin{array}{l} EC=EF,\\ ∠DEC=∠DEF,\\ ED=ED,\end{array}\right.$
∴△ECD≌△EFD(SAS)，
∴DC=DF，
∵AD=AF+DF，AB=AF，
∴AD=AB+CD.

10. 如图①，$AB=4cm$，$AC⊥AB$，$BD⊥AB$，$AC=BD=3cm$。点$P$在线段$AB$上以$1cm/s$的速度由点$A$向点$B$运动，同时，点$Q$在线段$BD$上由点$B$向点$D$运动。它们运动的时间为$t s$。
（1）若点$Q$的运动速度与点$P$的运动速度相等，当$t=1$时，$\triangle ACP$与$\triangle BPQ$是否全等？判断此时线段$PC$和线段$PQ$的位置关系，并分别说明理由。
$\triangle ACP$与$\triangle BPQ$全等，此时线段$PC$和线段$PQ$的位置关系是垂直。
（2）如图②，将（1）中的“$AC⊥AB$，$BD⊥AB$”改为“$∠CAB=∠DBA=60^{\circ}$”，其他条件不变。设点$Q$的运动速度为$x cm/s$，是否存在$x$，使得$\triangle ACP$与$\triangle BPQ$全等？若存在，求出相应的$x$，$t$的值；若不存在，请说明理由。
存在，相应的$x$，$t$的值为$\left\{\begin{array}{l} t=1,\\ x=1\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l} t=2,\\ x=\frac{3}{2}\end{array}\right.$。

答案： 解：
(1) △ACP与△BPQ全等，PC⊥PQ. 理由如下：
∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴∠A=∠B=90°，当t=1时，AP=BQ=1 cm.
∵AB=4 cm，AC=3 cm，
∴BP=AB−AP=3 cm=AC.
在△ACP和△BPQ中，$\left\{\begin{array}{l} AP=BQ,\\ ∠A=∠B,\\ AC=BP,\end{array}\right.$
∴△ACP≌△BPQ(SAS)，
∴∠ACP=∠BPQ.
∵∠A=90°，
∴∠BPQ+∠APC=∠ACP+∠APC=90°，
∴∠CPQ=90°，即PC⊥PQ.
(2) ①若△ACP≌△BPQ，则$\left\{\begin{array}{l} AC=BP,\\ AP=BQ,\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l} 3=4−t,\\ t=xt,\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l} t=1,\\ x=1;\end{array}\right.$
②若△ACP≌△BQP，则$\left\{\begin{array}{l} AC=BQ,\\ AP=BP,\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l} 3=xt,\\ t=4−t,\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l} t=2,\\ x=\frac{3}{2}.\end{array}\right.$
综上所述，当$\left\{\begin{array}{l} t=1,\\ x=1\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l} t=2,\\ x=\frac{3}{2}\end{array}\right.$时，△ACP与△BPQ全等.