《2025年桂壮红皮书暑假天地河北少年儿童出版社六年级数学人教版》

14. 多项式$(a - 4)x^3 + (b + 2)x^2 + x + 1$是关于$x$的一次二项式，求$a^2 + \frac{1}{b^2} + a$的值。

答案： 14. 解：由题意得，$a - 4 = 0$，$b + 2 = 0$，
所以$a = 4$，$b = -2$，
所以$a^{2} + \frac{1}{b^{2}} + a = 4^{2} + \frac{1}{(-2)^{2}} + 4 = 16 + \frac{1}{4} + 4 = \frac{81}{4}$。

15. 已知多项式$-x^4y^{m - 1} - 4mx^3 - 3y^4 - 2y^2 + 7$是关于$x$，$y$的七次五项式，请你通过计算写出该多项式的三次项。

答案： 15. 解：因为多项式$-x^{4}y^{m - 1} - 4mx^{3} - 3y^{4} - 2y^{2} + 7$是关于$x$，$y$的七次五项式，
所以$m - 1 = 3$，解得$m = 4$，所以关于$x$，$y$的七次五项式为$-x^{4}y^{3} - 16x^{3} - 3y^{4} - 2y^{2} + 7$，
所以它的三次项为$-16x^{3}$。

16. 已知关于$x$，$y$的多项式$xy^3 - 3x^4 + x^2y^{m + 2} - 5mn$是五次四项式($m$，$n$为有理数)，且单项式$5x^{4 - m}y^{n - 3}$的次数与该多项式的次数相同。求$m$，$n$的值。

答案： 16. 解：因为关于$x$，$y$的多项式$xy^{3} - 3x^{4} + x^{2}y^{m + 2} - 5mn$是五次四项式，
所以$2 + m + 2 = 5$，$-5mn \neq 0$，
所以$m = 1$，$n \neq 0$。
因为单项式$5x^{4 - m}y^{n - 3}$的次数与该多项式的次数相同，
所以单项式$5x^{4 - m}y^{n - 3}$的次数为五次，
所以$4 - m + n - 3 = 5$，即$4 - 1 + n - 3 = 5$，
所以$n = 5$。