《2025年初一入学分班必刷卷六年级数学》

1. 规定$ m\triangle n = 5m + 3n $,若$ x\triangle 9 = 37 $,则$ 2\triangle(x\triangle4) $的值为76。

答案： 76 【解析】由题目所给出的定义新运算,我们可以得到:$x△9=5x+3×9=37$,解得:$x=2$,所以$2△(x△4)=2△(2△4)=2△(5×2+3×4)=2△22=5×2+3×22=76$。

2. 规定“※”为一种运算,对任意两个数$ a,b $,有$ a※b= \frac{a + 2b}{3} $,若$ 6※x= \frac{22}{3} $,则$ x = $8。

答案： 8 【解析】根据定义新运算代值:$6※x=\frac {6+2x}{3}=\frac {22}{3}$,解这个方程得$x=8$。

3. $\{a\}$ 表示 $a$ 的小数部分,$[a]$ 表示不超过 $a$ 的最大整数,例如:$\{0.2\}= 0.2$,$[0.2]= 0$;$\{3.5\}= 0.5$,$[3.5]= 3$;记$f(x)= \frac{x + 3}{3x + 1}$,则$\{f(\frac{1}{2})\}=$0.4,$[f(\frac{1}{2})]=$1。

答案： 0.4 1 【解析】将题中给出数值代入所给公式得$f(\frac {1}{2})=\frac {\frac {1}{2}+3}{3×\frac {1}{2}+1}=1.4$,则$\{ f(\frac {1}{2})\} =0.4,[f(\frac {1}{2})]=1$。

4. 已知$ 1*3 = 1×2×3 $,$ 4*5 = 4×5×6×7×8 $,则$ (6*4)÷(3*4) $的结果是$8\frac {2}{5}$。

答案： $8\frac {2}{5}$【解析】$6*4=6×7×8×9,3*4=3×4×5×6,$$(6*4)÷(3*4)=\frac {6×7×8×9}{3×4×5×6}=8\frac {2}{5}$。

5. 我国古代先贤用一种绝妙而形象的二进制计数符号来表示万事万物,即用“一”表示“1”,用“--”表示“0”;亦用“≡”表示“1”,即二进制的“001”,用“≡”表示“6”,即二进制的“110”,那么用这种符号表示“5”为______。≡

答案： ≡ 【解析】我们现将5转化成二进制为101,而根据题意我们发现一横代表1,两横代表0,所以二进制数101代表一横、二横、一横,即:≡。

6. 符号“$ f $”和“$ g $”分别表示两种不同的运算,运算方式为:$ f(\frac{1}{2}) = 3 $,$ f(\frac{1}{3}) = 4 $,$ f(\frac{1}{5}) = 6 $,…,$ g(1)= 1 $,$ g(2)= 4 $,$ g(3)= 9 $,…利用以上规律填空:$ g( 5 )= f(\frac{1}{12})+f(\frac{1}{11}) $。

答案： 5 【解析】对给出的“g”和“f”运算进行观察,不难得出$f(\frac {a}{b})=a+b,g(a)=a^{2}$。这样我们就可以先求出$f(\frac {1}{12})$和$f(\frac {1}{11}),f(\frac {1}{12})=1+12=13,f(\frac {1}{11})=1+11=12,f(\frac {1}{12})+f(\frac {1}{11})=25,$又因为$25=5^{2}=g(5)$,故该题的答案为5。

7. 对任意四个数$ a,b,c,d $,定义新运算:$ \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} = ad - bc $,计算$ \begin{vmatrix}50&2\\4&0.2\end{vmatrix} = $2。

答案： 2 【解析】由题中给出的运算方式得$50×0.2-4×2=2$。

8. 定义“$ A★B $”为$ A $的3倍减去$ B $的2倍,即$ A★B = 3A - 2B $。已知$ r★(3★1)= 4 $,则$ r = $6。

答案： 6 【解析】根据已知条件中定义的新运算,那么$3★1=3×3-1×2=7,r★7=r×3-7×2=3r-14=4$,解方程得$r=6$。

1. 定义运算“△”为$ a\triangle b= ab-\frac{a + b}{2} $,则下列运算错误的是(B)
A.$ 6\triangle6 = 30 $
B.$ 5\triangle2\triangle3 = 14\frac{1}{4} $
C.$ 6\triangle\frac{3}{5}= \frac{3}{10} $
D.$ 4.5\triangle1.3 = 2.95 $

答案： B 【解析】A 选项:$6△6=6×6-\frac {6+6}{2}=30$,正确;B 选项:$5△2△3=(5×2-\frac {5+2}{2})△3=6.5×3-\frac {6.5+3}{2}=14\frac {3}{4}$,错误;C 选项:$6△\frac {3}{5}=6×\frac {3}{5}-\frac {6+\frac {3}{5}}{2}=3.6-3.3=\frac {3}{10}$,正确;D 选项:$4.5△1.3=4.5×1.3-\frac {4.5+1.3}{2}=5.85-2.9=2.95$,正确。故选B。

2. 记$ S_{n}= a_{1}+a_{2}+… +a_{n} $,令$ T_{n}= \frac{S_{1}+S_{2}+… +S_{n}}{n} $,称$ T_{n} 为 a_{1},a_{2},…,a_{n} $这列数的“理想数”。已知$ a_{1},a_{2},…,a_{500} $的“理想数”为2004,那么$ 8,a_{1},a_{2},…,a_{500} $的“理想数”为(C)
A.2006
B.2010
C.2008
D.2004

答案： C 【解析】先根据已知求出$T_{500}$的值,因为$T_{n}=\frac {S_{1}+S_{2}+... +S_{n}}{n}$,所以$n×T_{n}=S_{1}+S_{2}+... +S_{n},T_{500}=2004$。再设出新的理想数为$T_{x},501×T_{x}=8×501+500×T_{500},T_{x}=(8×501+500×T_{500})÷501,T_{x}=2008$,故选C。