《2025年5年中考3年模拟九年级数学上册人教版》

10.「2025北京大兴一模」如图,$AB是\odot O$的弦,且$AB= 6$,点$C是弧AB$的中点,点$D是优弧AB$上的一点,$\angle ADC= 30^{\circ}$,则圆心$O到弦AB$的距离为______.

答案：
答案　$\sqrt{3}$
解析　如图,连接OA、OC,OC交AB于点E,
∵点C是弧AB的中点,AB=6,
∴OC⊥AB,且AE=BE=3,
∵∠ADC=30°,
∴∠AOC=2∠ADC=60°,
∴∠OAE=30°,
∴OA=2OE,又
∵OE²+AE²=OA²,
∴OE²+3²=4OE²,
∴OE=$\sqrt{3}$,即圆心O到弦AB的距离为$\sqrt{3}$。

11.「2025湖北宜昌西陵期中」如图,点$A$、$B$、$P在\odot O$上,$\angle APB= 50^{\circ}$,若$M是\odot O$上的动点,则等腰$\triangle ABM$顶角的度数为50°或80°或130°.

答案： 答案　50°或80°或130°
解析　连接AM,BM(图略)，
①若点M在优弧APB上,则∠M=∠APB=50°。
若AM=BM,则等腰△ABM顶角的度数为50°；
若AM=AB或BM=AB,则等腰△ABM顶角的度数为180°−2∠M=80°。
②若点M在劣弧AB上,易得∠M=180°−∠APB=130°,此时∠M是顶角。
∴等腰△ABM顶角的度数为50°或80°或130°。

12.「2024天津西青期末」如图,$AB为\odot O$的直径,弦$CD和AB$相交,若$\angle ABC= 38^{\circ}$,则$\angle D$的大小是( )

A.$38^{\circ}$
B.$52^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$70^{\circ}$

答案：
B　如图,连接AC,
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°,
∵∠ABC=38°,
∴∠A=90°-∠ABC=52°,
∴∠D=∠A=52°。故选B。

13.「2024湖北随州广水期中」如图,$AB是\odot O$的直径,$\angle ACD= \angle CAB$,$AD= 3$,$AC= 6$,则$\odot O$的半径为______.

答案：
答案　$\frac{3\sqrt{5}}{2}$
解析　如图，连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°。
∵∠ACD=∠CAB，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，
∴BC=AD=3，在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{6^{2}+3^{2}}=3\sqrt{5}$，
∴⊙O的半径为$\frac{3\sqrt{5}}{2}$。

14.「2025浙江嘉兴秀洲期中」如图,$AB是\odot O$的一条弦,将劣弧沿弦$AB$翻折,连接$AO$并延长,交翻折后的弧于点$C$,连接$BC$.若$\odot O$的半径为2,$BC= 1$,则$AB= $______.

答案：
答案　$\sqrt{15}$
解析　如图,延长AC交⊙O于点D,连接BD,
∵劣弧沿弦AB翻折,AD交翻折后的弧于点C,且$\overset{\frown}{BC}$和$\overset{\frown}{BD}$所对的圆周角都是∠BAD，
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，
∴BC=BD=1,
∵AD为⊙O的直径,⊙O的半径为2,
∴∠ABD=90°,AD=4,
∴AB=$\sqrt{AD^{2}-BD^{2}}=\sqrt{4^{2}-1^{2}}=\sqrt{15}$。

15.如图,$\odot O$的半径为4,将三角尺的$60^{\circ}$、$90^{\circ}角的顶点A$,$B$放在圆上,$AC$,$BC两边分别与\odot O交于D$,$E$两点,连接$DE$,且$BE= DE$,则$\triangle ABC$的面积为______.

答案：
答案　$24\sqrt{3}$
解析　如图,连接AE，
∵∠CBA=90°,
∴AE为⊙O的直径，
∵⊙O的半径为4,
∴AE=8。
∵BE=DE,
∴∠BAE=∠DAE,
∵∠BAC=60°,
∴∠BAE=∠DAE=30°,
∴BE=DE=$\frac{1}{2}AE=4$,
∴AB=$\sqrt{AE^{2}-BE^{2}}=\sqrt{8^{2}-4^{2}}=4\sqrt{3}$;
∵AE为直径,
∴∠EDA=90°,
∴∠EDC=180°−90°=90°,
∵∠C=30°,
∴CE=2DE=8,
∴BC=BE+CE=12,
∴S△ABC=$\frac{1}{2}AB·BC=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×12=24\sqrt{3}$。

16.如图,$AB为\odot O$的直径,$E是弧AD$上一点,弦$DE// AB$,且$DE\perp弦CD$,连接$BE交CD于点N$,点$P在CD$的延长线上,$PN= PE$.若$OF= 6$,$BF= 4$,求$PN$的长.

答案：
解析　如图,连接CE,
∵DE⊥CD,
∴∠CDE=90°,
∴CE为⊙O的直径，
∴CE经过点O。
∵PN=PE,
∴∠PEN=∠PNE,
∵OB=OE,
∴∠OEB=∠OBE,由DE//AB,DE⊥CD 可得AB⊥CD,
∴∠OBE+∠BNF=90°,
∴∠OEB+∠PEN=90°,即∠PEC=90°,
∵AB⊥CD,
∴CF=DF,
∵OC=OE,
∴OF为△CED的中位线,
∴DE=2OF=12,由OF=6,BF=4得OC=OB=10,
∴CE=20,
∴CD=$\sqrt{CE^{2}-DE^{2}}=16$,设PD=x,则PC=x+16。
在Rt△PDE和Rt△PCE中,由勾股定理,得PD²+DE²=PE²=PC²-CE²,即x²+12²=(x+16)²-20²,解得x=9,
∴PD=9。
∴PE=$\sqrt{PD^{2}+DE^{2}}=15$,
∴PN=PE=15。