《2025年5年中考3年模拟九年级数学上册人教版》

10.「2024 山东菏泽单县期中」如图,已知$△ABC$中,$AB= AC,∠BAC= 90^{\circ }$,点 D 为 BC 的中点,直角$∠MDN$绕点 D 旋转,DM,DN 分别与边 AB,AC 交于 E,F 两点,结论:①$△DEF$是等腰直角三角形;②$AE= CF$;③$△BDE\cong △ADF$;④$S_{四边形AEDF}= \frac {1}{2}S_{△ABC}$.其中正确的是①②③④.(只填序号)

答案： 答案 ①②③④
解析 在 Rt△ABC 中, AB = AC, 点 D 为 BC 的中点,
∴∠C = ∠BAD = 45°, AD = BD = CD, ∠ADC = 90°,
∴∠ADF + ∠CDF = 90°,
∵∠MDN = 90°,
∴∠ADE + ∠ADF = 90°,
∴∠ADE = ∠CDF, 在△AED 与△CFD 中, $\begin{cases}∠EAD = ∠C, \\ AD = CD, \\ ∠ADE = ∠CDF,\end{cases}$
∴△AED ≌ △CFD(ASA),
∴AE = CF, ED = FD, 故②正确. 又
∵∠EDF = 90°,
∴△DEF 为等腰直角三角形, 故①正确.
∵AE = CF, AB = AC,
∴AB - AE = AC - CF,
∴BE = AF, 在△BDE 和△ADF 中, $\begin{cases}BE = AF, \\ DE = DF, \\ BD = AD,\end{cases}$
∴△BDE ≌ △ADF(SSS), 故③正确.
∵△AED ≌ △CFD, △BDE ≌ △ADF,
∴S_{△AED} = S_{△CFD}, S_{△BDE} = S_{△ADF},
∴S_{四边形 AEDF} = S_{△AED} + S_{△ADF} = $\frac{1}{2}$S_{△ABC}, 故④正确. 综上所述, 正确结论是①②③④.

11.「2024 河北邯郸期末」(12 分)下图是由 5 个全等的小正方形组成的图案,请按下列要求画图:
(1)在图案①中添加 1 个小正方形,使它是轴对称图形但不是中心对称图形.
(2)在图案②中添加 1 个小正方形,使它是中心对称图形但不是轴对称图形.
(3)在图案③中添加 1 个小正方形,使它既是轴对称图形,又是中心对称图形.

答案：
解析
(1) 如图①所示(答案不唯一).
(2) 如图②所示.
(3) 如图③所示.

12.「2024 安徽宿州期末」(12 分)如图所示的方格纸中每个小正方形的边长都是 1 个单位长度,在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系,$△ABC$在坐标系中的位置如图所示.
(1)将$△ABC$向右平移 8 个单位长度后得到$△A_{1}B_{1}C_{1}$,请画出$△A_{1}B_{1}C_{1}$.
(2)请画出$△A_{1}B_{1}C_{1}$关于原点 O 成中心对称的图形$△A_{2}B_{2}C_{2}$.
(3)若将$△ABC绕某一点旋转可得△A_{2}B_{2}C_{2}$,则旋转中心的坐标为____.

答案：
解析
(1) 如图, △A₁B₁C₁ 即为所求.
(2) 如图, △A₂B₂C₂ 即为所求.
(3) 如图, 旋转中心的坐标为(-4, 0).

13.(16 分)在正方形 ABCD 中,点 E、F 分别在边 BC、CD 上,且$∠EAF= ∠CEF= 45^{\circ }$.
(1)将$△ADF$绕点 A 顺时针旋转$90^{\circ }$,得到$△ABG$(如图①),求证:$BE+DF= EF$.
(2)若直线 EF 与 AB、AD 的延长线分别交于点 M、N(如图②),求证:$EF^{2}= ME^{2}+NF^{2}$.

答案：
证明
(1)
∵△ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90°, 得到△ABG,
∴AG = AF, BG = DF, ∠GAF = 90°, G、B、E 三点共线.
∵∠EAF = 45°,
∴∠GAE = ∠GAF - ∠EAF = 45°,
∴∠GAE = ∠EAF, 在△AEG 和△AEF 中, $\begin{cases}AG = AF, \\ ∠GAE = ∠FAE, \\ AE = AE,\end{cases}$
∴△AEG ≌ △AEF(SAS),
∴GE = EF.
∵GE = BE + GB = BE + DF,
∴BE + DF = EF.
(2) 将△ADF 绕点 A 顺时针旋转 90°, 得到△ABG, 连接 GM, 如图所示.

∵四边形 ABCD 是正方形,
∴AB = BC = CD = AD, ∠ADC = ∠ABC = ∠C = 90°.
∵∠CEF = 45°,
∴△CEF 为等腰直角三角形, CE = CF, 易知△DFN 与△BEM 也是等腰直角三角形,
∴DF = DN, BM = BE.
∵BC = CD,
∴BE = DF. 由
(1)知 BG = DF,
∴BG = DF = DN = BE = BM,
∴△BGM 也是等腰直角三角形, ∠BMG = 45°,
∵∠EMB = 45°,
∴∠EMG = 90°,
∴EG² = MG² + ME², 易知 MG = $\sqrt{2}$BM, NF = $\sqrt{2}$DF,
∴MG = NF,
∴EG² = NF² + ME². 由
(1)知 EG = EF,
∴EF² = ME² + NF².