《2025年5年中考3年模拟七年级数学上册人教版》

25.「2025 山东德州齐河期中」(10 分)
(1) 学习了整式的加减运算后,老师给同学们布置了一个任务：
已知 a = 2,自行给 b 取一个喜欢的数.先化简下列式子,再代入求值
$(5a^2b - 2ab^2 + 6a) - 3(2a^2b - 3a) + 2(ab^2 + \frac{1}{2}a^2b) - 1.$
小杜、小康、小磊三人经过化简、计算,后来交流结果时发现,虽然三人给 b 取的值都不同,但计算结果却完全一样.请解释出现这种情况的原因,并求这个计算结果.
原因是：化简结果与 b 的值无关，计算结果为29.
(2) 已知代数式$ A = 2x^2 + 5xy - 7y - 3,B = x^2 - xy + 2.$
①当 x = -1,y = 2 时,求 A - 3B 的值.
A - 3B 的值为-40.
②若 A - 2B 的值与 y 的取值无关,求 x 的值.
x 的值为1.

答案： 解析
(1) 原式$ = 5a^2b - 2ab^2 + 6a - 6a^2b + 9a + 2ab^2 + a^2b - 1 = 15a - 1，$所以$ (5a^2b - 2ab^2 + 6a) - 3(2a^2b - 3a) + 2(ab^2 + \frac{1}{2}a^2b) - 1 $的化简结果与 b 的值无关.当 a = 2 时，原式 = 15 × 2 - 1 = 29.
(2) ①因为$ A = 2x^2 + 5xy - 7y - 3，$$B = x^2 - xy + 2，$所以$ A - 3B = 2x^2 + 5xy - 7y - 3 - 3(x^2 - xy + 2) = 2x^2 + 5xy - 7y - 3 - 3x^2 + 3xy - 6 = -x^2 + 8xy - 7y - 9.$当 x = -1，y = 2 时，原式$ = -(-1)^2 + 8 × (-1) × 2 - 7 × 2 - 9 = -1 - 16 - 14 - 9 = -40.②$因为$ A = 2x^2 + 5xy - 7y - 3，$$B = x^2 - xy + 2，$所以$ A - 2B = 2x^2 + 5xy - 7y - 3 - 2(x^2 - xy + 2) = 2x^2 + 5xy - 7y - 3 - 2x^2 + 2xy - 4 = 7xy - 7y - 7 = (7x - 7)y - 7.$因为 A - 2B 的值与 y 的取值无关，所以 7x - 7 = 0，所以 x = 1.

26.「2024 北京汇文中学教育集团期中」(10 分)若一个两位数的十位和个位上的数字分别为 x 和 y,我们可将这个两位数记为$ \overline{xy}.$同理,若一个三位数的百位、十位和个位上的数字分别为 a,b 和 c,则这个三位数可记为$ \overline{abc}.(1) $若 x = 3,则$ \overline{2x} + \overline{x3} = $56；若 t = 2,则$ \overline{t83} - \overline{5t9} = $-246.(2)$\overline{ab} + \overline{ba} $一定能被11整除,$\overline{ab} - \overline{ba} $一定能被9整除.(请从大于 3 的整数中选择合适的数填空)
(3) 任选一个三位数,要求个、十、百位上的数字各不相同且不为零,把这个三位数的三个数字按大小重新排列,得出一个最大的数和一个最小的数,用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数,再将这个新数按上述方式重新排列,再相减,像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数,这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”.
①这个“卡普雷卡尔黑洞数”是495.
②若设三位数为$ \overline{abc}($不妨设 a ＞ b ＞ c ＞ 0),试说明其可产生“卡普雷卡尔黑洞数”.

答案： 解析
(1) 56；-246.
详解：若 x = 3，则$ \overline{2x} + \overline{x3} = 23 + 33 = 56.$若 t = 2，则$ \overline{t83} - \overline{5t9} = 283 - 529 = -246.(2) 11；$9.
详解：因为$ \overline{ab} + \overline{ba} = 10a + b + 10b + a = 11a + 11b = 11(a + b)，$且 a，b 为整数，所以 11(a + b) 一定能被 11 整除，即$ \overline{ab} + \overline{ba} $一定能被 11 整除.因为$ \overline{ab} - \overline{ba} = 10a + b - (10b + a) = 9a - 9b = 9(a - b)，$且 a，b 为整数，所以 9(a - b) 一定能被 9 整除，即$ \overline{ab} - \overline{ba} $一定能被 9 整除.
(3) ①495.
详解：若选的数为 325，则 532 - 235 = 297，以下按照规则计算：972 - 279 = 693，963 - 369 = 594，954 - 459 = 495，954 - 459 = 495，……，所以这个“卡普雷卡尔黑洞数”是 495.
②三位数为$ \overline{abc} $时，第一次运算后得 100a + 10b + c - (100c + 10b + a) = 99(a - c)，结果为 99 的倍数.因为三位数$ \overline{abc} $中，a ＞ b ＞ c ＞ 0，所以 a 最大取 9，c 最大取 7，最小取 1，所以 a - c = 2，3，4，5，6，7，8，所以第一次运算后可能得到 198，297，396，495，594，693，792，再让这些数经过运算，分别可以得到 981 - 189 = 792，972 - 279 = 693，963 - 369 = 594，954 - 459 = 495，954 - 459 = 495，……这些数继续运算下去最终可以得到“卡普雷卡尔黑洞数”495.