《2025年通城学典课时作业本八年级数学下册华师大版》

9. 如图,在△ABC中,点D、E、F分别在边BC、AB、AC上,且∠BDE = ∠C,DE + CF = AC.有下列说法:①四边形AEDF是平行四边形;②如果∠BAC = 90°,那么四边形AEDF是矩形;③如果AD平分∠BAC,那么四边形AEDF是菱形;④如果AD⊥BC,且AB = AC,那么四边形AEDF是正方形.其中,正确的有(　　)

A. ①④
B. ②③④
C. ①②③
D. ①②③④

答案： C 解析:
∵∠BDE = ∠C，
∴DE//AC，即DE//AF.
∵DE + CF = AC，AF + CF = AC，
∴DE = AF，
∴四边形AEDF是平行四边形，说法①正确；如果∠BAC = 90°，那么平行四边形AEDF是矩形，说法②正确；如果AD平分∠BAC，那么∠EAD = ∠FAD.又
∵DE//AC，
∴∠EDA = ∠FAD，
∴∠EAD = ∠EDA，
∴AE = DE，
∴四边形AEDF是菱形，说法③正确；如果AB = AC，AD⊥BC，那么AD平分∠BAC.同理，可得四边形AEDF是菱形，但∠BAC不一定是直角，
∴四边形AEDF不一定是正方形，说法④错误.其中，正确的有①②③.

10. 如图,在△ABC中,AB = AC.将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF,其中点E在边BC上,DE与AC相交于点O,连结AE、DC、AD.当E为BC的中点时,求证:四边形AECD为矩形.

答案：
∵AB = AC，E为BC的中点，
∴AE⊥BC，BE = EC.
∵△ABC平移得到△DEF，
∴BE//AD，BE = AD，
∴AD//EC，AD = EC，
∴四边形AECD是平行四边形.又
∵AE⊥BC，
∴四边形AECD为矩形.

11. 如图,在矩形ABCD中,O是AC的中点,AC = 2AB,延长AB至点G,使BG = AB,连结GO交BC于点E,延长GO交AD于点F,连结AE、CF.
(1)求证:△ABC≌△AOG;
(2)猜想四边形AECF的形状,并证明你的猜想.

答案：
(1)
∵O是AC的中点，
∴AO = CO = $\frac{1}{2}$AC.
∵AC = 2AB，BG = AB，
∴AB = AO，AC = AG.在△ABC和△AOG中，$\begin{cases}AB = AO\\∠BAC = ∠OAG\\AC = AG\end{cases}$，
∴△ABC≌△AOG.
(2)四边形AECF是菱形.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC = 90°，AD//BC，
∴∠OAF = ∠OCE.
∵O是AC的中点，
∴AO = CO.在△AOF和△COE中，$\begin{cases}∠OAF = ∠OCE\\AO = CO\\∠AOF = ∠COE\end{cases}$，
∴△AOF≌△COE，
∴OF = OE，
∴四边形AECF是平行四边形.由
(1)，知△ABC≌△AOG，
∴∠ABC = ∠AOG = 90°，即AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形.

12. 如图,在正方形ABCD中,E是边AB上一点,BE = 2,AE = 3BE,P是AC上一动点,则PB + PE的最小值是__________.

答案： 10

13. 如图,菱形ABCD的对角线相交于点O,AC = 12,BD = 16,P为边BC上一点,且点P不与点B、C重合.过点P作PE⊥AC于点E,PF⊥BD于点F,连结EF,则EF长的最小值为__________.

答案： 4.8