《2025年通城学典课时作业本八年级数学下册华师大版》

7. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高。有下列四个结论：①OA = OD；②AD⊥EF；③当∠BAC = 90°时，四边形AEDF是正方形；④AE + DF = AF + DE。其中，正确的是(　　)


A. ②③
B. ②④
C. ①③④
D. ②③④

答案： D

8. (2024.眉山期末)如图，正方形ABCD的边长为4，点G在BC上，且BG = 3，DE⊥AG于点E，BF//DE，交AG于点F，则EF的长为__________。

答案： $\frac{4}{5}$ 解析:
∵DE⊥AG，BF//DE，
∴BF⊥AG，∠AED = 90°.
∴∠BFA = 90° = ∠AED.
∴∠BAF + ∠ABF = 90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD = ∠ABC = 90°，AB = AD.
∴∠BAF + ∠DAE = 90°.
∴∠ABF = ∠DAE.
在△ABF和△DAE中，$\begin{cases}∠BFA = ∠AED\\∠ABF = ∠DAE\\AB = AD\end{cases}$，
∴△ABF≌△DAE.
∴BF = AE.
在Rt△ABG中，由勾股定理，得AG = $\sqrt{AB^{2}+BG^{2}}$ = 5.
∵$S_{\triangle ABG}=\frac{AB\cdot BG}{2}=\frac{AG\cdot BF}{2}$，
∴BF = $\frac{AB\cdot BG}{AG}=\frac{4×3}{5}=\frac{12}{5}$.
∴AE = BF = $\frac{12}{5}$.
在Rt△BFG中，由勾股定理，得FG = $\sqrt{BG^{2}-BF^{2}}=\frac{9}{5}$.
∴EF = AG - AE - FG = $\frac{4}{5}$.

9. 如图，在▱ABCD中，延长BC至点E，使CE = BC，连结AE交CD于点O。
(1)求证：CO = DO。
(2)取AB的中点F，连结CF，当△COE满足什么条件时，四边形AFCO是正方形？请说明理由。

答案：
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD = BC，AD//BC.
∴∠DAE = ∠E.
∵CE = BC，
∴CE = AD.
在△EOC和△AOD中，$\begin{cases}∠EOC = ∠AOD\\∠E = ∠DAO\\CE = AD\end{cases}$，
∴△EOC≌△AOD.
∴CO = DO.
(2)当CO = EO且∠COE = 90°时，四边形AFCO是正方形.
理由:
∵CO = DO，
∴CO = $\frac{1}{2}$CD.
又
∵F是AB的中点，
∴AF = $\frac{1}{2}$AB.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB = CD，AB//CD.
∴AF = CO，AF//CO.
∴四边形AFCO是平行四边形.
由
(1)，知△EOC≌△AOD，
∴AO = EO.
∵CO = EO，
∴AO = CO.
∴四边形AFCO是菱形.
∵∠COE = 90°，
∴∠AOC = 90°.
∴四边形AFCO是正方形.

10. 如图①，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F。
(1)求证：OE = OF。
(2)如图②，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE交EB的延长线于点M，延长AM交DB的延长线于点F，其他条件不变，结论“OE = OF”还成立吗？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由。

答案：
(1)
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOE = ∠AOF = 90°，OB = OA.
∴∠AFO + ∠MAE = 90°.
∵AM⊥BE，
∴∠AME = 90°.
∴∠MEA + ∠MAE = 90°.
∴∠MEA = ∠BEO = ∠AFO.
在△BOE和△AOF中，$\begin{cases}∠BEO = ∠AFO\\∠BOE = ∠AOF\\OB = OA\end{cases}$，
∴△BOE≌△AOF.
∴OE = OF.
(2)成立.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOE = ∠AOF = 90°，OB = OA.
∴∠E + ∠OBE = 90°.
∵AM⊥BE，
∴∠AME = 90°.
∴∠F + ∠MBF = 90°.
又
∵∠OBE = ∠MBF，
∴∠E = ∠F.
在△BOE和△AOF中，$\begin{cases}∠E = ∠F\\∠BOE = ∠AOF\\OB = OA\end{cases}$，
∴△BOE≌△AOF.
∴OE = OF.