《2025年通城学典课时作业本八年级数学下册华师大版》

12. 如图，四边形ABCD和四边形ADEF都是菱形，∠BAD = ∠FAD，∠BAD为锐角.
(1)求证：AD⊥BF；
(2)若BF = BC，求∠ADC的度数.

答案：
(1)
∵四边形ABCD和四边形ADEF都是菱形，
∴AB = AD，AD = AF.
∴AB = AF.
∵∠BAD = ∠FAD，
∴AD⊥BF.
(2)
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = BC，AB//CD.
∴∠BAD + ∠ADC = 180°.
∵BF = BC，
∴BF = AB.
∵AB = AF，
∴BF = AB = AF.
∴△ABF是等边三角形.
∴∠BAF = 60°.
∵∠BAD = ∠FAD，
∴∠BAD = $\frac{1}{2}$∠BAF = 30°.
∴∠ADC = 180° - ∠BAD = 150°.

13. 如图，在等腰三角形ABC中，AB = AC，AD平分∠BAC交BC于点D，在线段AD上任取一点P(不与点A重合)，过点P作EF//AB，分别交AC、BC于点E、F，作PQ//AC，交AB于点Q，连结QE.
(1)求证：四边形AEPQ为菱形.
(2)当点P在何处时，菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半？请说明理由.

答案：
(1)
∵EF//AB，PQ//AC，
∴四边形AEPQ为平行四边形，∠BAD = ∠EPA.
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD = ∠BAD.
∴∠CAD = ∠EPA.
∴EA = EP.
∴四边形AEPQ为菱形.
(2)当P为EF的中点时，$S_{菱形AEPQ} = \frac{1}{2}S_{四边形EFBQ}$.
理由:
∵四边形AEPQ为菱形，
∴AD⊥EQ.
∵AB = AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC.
∴EQ//BC.
又
∵EF//AB，
∴四边形EFBQ为平行四边形.
过点E作EN⊥AB于点N.
∵P为EF的中点，
∴EP = $\frac{1}{2}$EF.
∴$S_{菱形AEPQ} = EP\cdot EN = \frac{1}{2}EF\cdot EN = \frac{1}{2}S_{四边形EFBQ}$.