《2025年通城学典课时作业本八年级数学下册华师大版》

8. 如图,在▱ABCD中,M、N是BD上的两点,BM = DN,连结AM、MC、CN、NA.添加一个条件，使四边形AMCN是矩形,这个条件可能是(　　)


A. OM = $\frac{1}{2}$AC　　　
　B. BD⊥AC
C. MB = MO　　　
　D. ∠AMB = ∠CND

答案： A

9. 如图,在△ABC中,AB = 6,AC = 8,BC = 10,P为边BC上一动点(不与点B、C重合),PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,则EF长的最小值为__________.

答案： $\frac{24}{5}$ 解析：连结AP.在△ABC中，AB = 6，AC = 8，BC = 10，
∴BC² = AB² + AC².
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC = 90°.
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AEP = ∠AFP = ∠BAC = 90°.
∴四边形PEAF是矩形，
∴AP = EF.
∴当AP最小时，EF也最小.
∵当AP⊥BC时，AP最小，此时$\frac{1}{2}$AB·AC = $\frac{1}{2}$BC·AP，
∴AP = $\frac{AB·AC}{BC}$ = $\frac{6×8}{10}$ = $\frac{24}{5}$.
∴EF长的最小值为$\frac{24}{5}$.

10. 如图,在▱ABCD中,E为边BC的中点,连结AE并延长,交DC的延长线于点F,延长EC至点G,使CG = CE,连结DE、DG、FG.
(1)求证:△ABE≌△FCE;
(2)若AD = 2AB,求证:四边形DEFG是矩形.

答案：
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB // CD.
∴∠EAB = ∠EFC.
∵E为边BC的中点，
∴EB = EC.在△ABE和△FCE中，
$\begin{cases}∠EAB = ∠EFC \\∠BEA = ∠CEF \\EB = EC\end{cases}$
∴△ABE≌△FCE.
(2)
∵△ABE≌△FCE，
∴AB = FC.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD = BC，AB = CD.
∴DC = FC.又
∵CG = CE，
∴四边形DEFG是平行四边形.
∵E为边BC的中点，CG = CE，
∴易得BC = EG.又
∵AD = BC = EG = 2AB，DF = CD + CF = 2CD = 2AB，
∴DF = EG.
∴四边形DEFG是矩形.

11. 如图,在△ABC中,O是边AC上一点,过点O作直线MN//BC,且MN交∠ACB的平分线于点E,交△ABC外角的平分线于点F.
(1)求证:OE = OF.
(2)若CE = 12,CF = 9,求OC的长.
(3)连结AE、AF,当点O在边AC上的什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由.

答案：
(1)
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE = ∠BCE.
∵MN // BC，
∴∠OEC = ∠BCE.
∴∠ACE = ∠OEC.
∴OE = OC.同理，可得OF = OC.
∴OE = OF.
(2)
∵CE、CF分别平分∠ACB和∠ACD，
∴∠ACE + ∠ACF = $\frac{1}{2}$∠ACB + $\frac{1}{2}$∠ACD = $\frac{1}{2}$∠BCD = 90°，即∠ECF = 90°.在Rt△ECF中，由勾股定理，得EF = $\sqrt{CE² + CF²}$ = $\sqrt{12² + 9²}$ = 15.由
(1)，知OE = OF = OC，
∴OC = $\frac{1}{2}$EF = $\frac{15}{2}$.
(3)当O是边AC的中点时，四边形AECF是矩形.理由：当O是边AC的中点时，则有OA = OC.由
(1)，知OE = OF = OC，
∴OA = OC = OE = OF.
∴四边形AECF是平行四边形，AC = EF.
∴四边形AECF是矩形.