《2025年通城学典课时作业本八年级数学下册华师大版》

8.如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,∠BAD的平分线交BC于点E.若∠AOB = α,则用含α的式子表示∠OAE的度数为(　　　)


A.$\frac{\alpha}{2}$
B.45° - $\frac{\alpha}{2}$
C.45° - α
D.90° - α

答案： B　解析：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD = 90°，OA = OB。
∴∠OAB = ∠OBA。
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠BAE = $\frac{1}{2}$∠BAD = $\frac{1}{2}$×90° = 45°。
∵∠AOB = α，
∴∠OAB = $\frac{180° - \angle AOB}{2}$ = 90° - $\frac{1}{2}$α。
∴∠OAE = ∠OAB - ∠BAE = 45° - $\frac{1}{2}$α。

9.(2024.南阳桐柏期末)如图,有一张矩形纸片ABCD,AB = 8,AD = 6.现折叠该纸片，使得边AD与对角线BD重合,折痕为DG，点A落在点F处,则AG的长为__________.

答案： 3　解析：
∵四边形ABCD是矩形，AB = 8，AD = 6，
∴∠A = 90°，BG = 8 - AG。在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD = $\sqrt{AB^{2}+AD^{2}}$ = $\sqrt{8^{2}+6^{2}}$ = 10。由折叠，得FD = AD = 6，FG = AG，∠DFG = ∠A = 90°。
∴BF = BD - FD = 4，∠BFG = 90°。在Rt△BFG中，由勾股定理，得BF² + FG² = BG²，
∴4² + AG² = (8 - AG)²，解得AG = 3。

10.如图,四边形ABCD是矩形,点E在边BC 上,点F在BC的延长线上,且∠CDF = ∠BAE.
(1)求证:四边形AEFD是平行四边形;
(2)若DF = 3,DE = 4,AD = 5,求CD的长.

答案：
(1)
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB = DC，BC = AD，∠B = ∠BCD = 90°，AD//BC。
∴∠DCF = 180° - ∠BCD = 90°。
∴∠B = ∠DCF。在△ABE和△DCF中，
$\begin{cases}\angle B = \angle DCF\\AB = DC\\\angle BAE = \angle CDF\end{cases}$
∴△ABE≌△DCF。
∴BE = CF。
∴BE + CE = CF + CE，即BC = EF。
∵BC = AD，
∴EF = AD。又
∵EF//AD，
∴四边形AEFD是平行四边形。
(2)由
(1)，知EF = AD = 5。在△EFD中，
∵DF = 3，DE = 4，EF = 5，
∴DE² + DF² = EF²。
∴△EFD是直角三角形，且∠EDF = 90°。又
∵∠BCD = 90°，
∴$\frac{1}{2}$DE·DF = $\frac{1}{2}$EF·CD。
∴CD = $\frac{12}{5}$。

11.某学习小组在探究矩形的折纸问题时,将一块三角尺的直角顶点绕着矩形ABCD (AB＜BC)的对角线交点O旋转(如图①→②→③),M、N分别为三角尺的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点.
(1)该学习小组中一名成员发现:在图①(三角尺的一直角边与OD重合)中,BN² = CD² + CN²;在图③(三角尺的一直角边与OC重合)中,BN、CN、CD之间的数量关系为__________________.
(2)试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由.
(3)若AB = 8,BC = 10,则是否存在某一旋转位置，使得CM + CN的值为$\frac{44}{5}$？若存在,请直接写出此时DM的长;若不存在，请说明理由.

答案：
(1)CN² = CD² + BN²
(2)BN² + DM² = CM² + CN²。理由：如图，延长NO交AD于点P，连结PM、MN。
∵四边形ABCD是矩形，
∴OD = OB，AD//BC。
∴∠DPO = ∠BNO，∠PDO = ∠NBO。在△BON和△DOP中，
$\begin{cases}\angle NBO = \angle PDO\\OB = OD\\\angle BNO = \angle DPO\end{cases}$
∴△BON≌△DOP。
∴ON = OP，BN = DP。
∵∠MON = 90°，
∴PM = MN。
∵∠ADC = ∠BCD = 90°，
∴在Rt△PDM中，由勾股定理，得PM² = DP² + DM²；在Rt△MNC中，由勾股定理，得MN² = CM² + CN²。
∴DP² + DM² = CM² + CN²。
∴BN² + DM² = CM² + CN²。
(3)存在　DM = 5