《2025年通城学典课时作业本八年级数学下册华师大版》

20.如图,在▱ABCD中,AF平分∠BAD,交BC的延长线于点F,DE⊥AF交AB于点O,交CB的延长线于点E.求证:BE = CF.

答案：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB = CD，AD//BC，AB//CD.
∴∠DAF = ∠F，∠AOD = ∠EDC，∠ADO = ∠E.
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF = ∠BAF.
∴∠BAF = ∠F.
∴AB = BF.
∵AF平分∠BAD，DE⊥AF，
∴易得∠AOD = ∠ADO.
∵∠AOD = ∠EDC，∠ADO = ∠E.
∴∠EDC = ∠E.
∴CD = CE.又
∵AB = CD，AB = BF，
∴CE = BF.
∴CE - BC = BF - BC，即BE = CF

21.如图,在四边形ABCD中,E为BC上一点,AB = AE,CD = DE,且AE//CD,F是AE上一点,∠ABF = ∠EAD,连结CF、AC、DF.求证:AC与DF互相平分.

答案：
∵AB = AE，
∴∠ABE = ∠AEB.
∵CD = DE，
∴∠DCE = ∠DEC.
∵AE//CD，
∴∠AEB = ∠DCE.
∴∠ABE = ∠DEC.
∴AB//DE.
∴∠BAF = ∠AED.在△ABF和△EAD中，∠ABF = ∠EAD，AB = EA，∠BAF = ∠AED，
∴△ABF≌△EAD.
∴AF = ED = CD.又
∵AE//CD，即AF//CD，
∴四边形ADCF是平行四边形.
∴AC与DF互相平分

22.如图,在▱ABCD中,对角线AC、BD相交于点O.
(1)若AC = 12,BD = 14,求AD的取值范围.
(2)若∠ACB = 40°,AC = BC,求∠ADC的度数.
(3)点E在CA的延长线上,点F在AC的延长线上,且AE = CF,点G、H均在线段BD上,且BG = DH,连结EG、GF、FH、HE.求证:四边形EGFH是平行四边形.

答案：
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，AC = 12，BD = 14，
∴OA = $\frac{1}{2}$AC = 6，OD = $\frac{1}{2}$BD = 7.在△AOD中，由三角形的三边关系，得OD - OA ＜ AD ＜ OD + OA，即7 - 6 ＜ AD ＜ 7 + 6.
∴1 ＜ AD ＜ 13
(2)
∵AC = BC，∠ACB = 40°，
∴∠BAC = ∠ABC = $\frac{1}{2}$(180° - ∠ACB)=70°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC = ∠ABC = 70°
(3)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA = OC，OB = OD.
∵AE = CF，BG = DH，
∴易得OE = OF，OG = OH.
∴四边形EGFH是平行四边形