《2025年通城学典课时作业本八年级数学下册华师大版》

13.如图,在▱ABCD中,O是AC的中点,EF过点O,分别交AD、CB的延长线于点E、F,连结AF、CE.
(1)求证:四边形AFCE是平行四边形;
(2)若AC平分∠BAE,AB = 6,AE = 8,求BF的长.

答案：
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC.又
∵点E、F分别在线段AD、CB的延长线上，
∴AE//CF.
∴∠AEO = ∠CFO.
∵O是AC的中点，
∴OA = OC.在△AOE和△COF中，∠AEO = ∠CFO，∠AOE = ∠COF，OA = OC，
∴△AOE≌△COF.
∴AE = CF.
∴四边形AFCE是平行四边形
(2)
∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC = ∠EAC.
∵AD//BC，
∴∠EAC = ∠ACB.
∴∠BAC = ∠ACB.
∴AB = BC = 6.
∵四边形AFCE是平行四边形，
∴CF = AE = 8.
∴BF = CF - BC = 8 - 6 = 2

14.如图,在△ABC中,D是AB的中点,点E在AC上,BE//DF,BE = DF,DF交AC于点G,连结EF.求证:AG = EG.

答案：
如图，连结DE、AF.
∵BE//DF，BE = DF，
∴四边形DBEF是平行四边形.
∴BD//EF，BD = EF.
∴AD//EF.
∵D是AB的中点，
∴AD = BD.
∴AD = EF.
∴四边形ADEF是平行四边形.
∴AG = EG

15.如图,四边形ABCD和四边形AEFC都是平行四边形，点B在EF上.若▱ABCD和▱AEFC的面积分别是S1、S2,则它们的大小关系是(　　)
A.S1＞S2
B.2S1＜S2
C.S1＜S2
D.S1 = S2

答案： D

16.如图,等边三角形ABC的周长为12,P是等边三角形ABC内的任意一点，过点P分别作PD、PE、PF,且PD//AC,PE//AB,PF//BC,则PD + PE + PF的值为(　　)
A.12
B.8
C.4
D.3

答案：
C 解析:如图，延长FP交AB于点G，延长EP交AC于点H.
∵PD//AC，PE//AB，PF//BC，
∴四边形ADPH、四边形PEBG均为平行四边形.
∴PE = BG，PH = AD.又
∵△ABC是等边三角形，
∴易得△DGP和△HPF也是等边三角形.
∴PF = PH = AD，PD = DG.
∴PD + PE + PF = DG + BG + AD = AB.
∵等边三角形ABC的周长为12，
∴易得AB = 4.
∴PD + PE + PF = 4.

17.(2024·长春朝阳期中)如图,在▱ABCD中,过点A分别作AE⊥BC于点E,AF⊥DC的延长线于点F.若AE = 3,AF = 5,且▱ABCD的周长为32,则BC的长为________.

答案： 10

18.将△ABC与▱DEFG按如图所示的方式放置,点D、G分别在边AB、AC上,点E、F在边BC上.若BE = DE,CF = FG,则∠A的度数为________.

答案： 90°

19.如图,在正六边形ABCDEF中,M、N是对角线BE上的两点,有下列条件:①BM = EN;②∠FAN = ∠CDM;③AM = DN;④∠AMB = ∠DNE.从中任选一个,能使四边形AMDN是平行四边形的为________(填序号).

答案： ①②④ 解析:
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴易得AF//BE//CD，AB = DE，∠ABM = ∠DEN = 60°.①若添加BM = EN，则易得BN = EM.在△ABN和△DEM中，AB = DE，∠ABN = ∠DEM，BN = EM，
∴△ABN≌△DEM.
∴AN = DM，∠ANB = ∠DME.
∴AN//DM.
∴四边形AMDN是平行四边形.②若添加∠FAN = ∠CDM，则易得∠BAN = ∠EDM.
∵AF//BE//CD，
∴∠ANB = ∠FAN，∠DME = ∠CDM.
∴∠ANB = ∠DME.在△ABN和△DEM中，∠ANB = ∠DME，∠BAN = ∠EDM，AB = DE，
∴△ABN≌△DEM.同上，可证四边形AMDN是平行四边形.③若添加AM = DN，无法证明四边形AMDN是平行四边形.④若添加∠AMB = ∠DNE，则易得∠AMN = ∠DNM，
∴AM//DN.在△ABM和△DEN中，∠ABM = ∠DEN，∠AMB = ∠DNE，AB = DE，
∴△ABM≌△DEN.
∴AM = DN.
∴四边形AMDN是平行四边形.综上所述，能使四边形AMDN是平行四边形的为①②④.