《2025年通城学典课时作业本八年级数学下册华师大版》

8.如图,在▱ABCD中,E、F是对角线BD上的两点,BE = DF,点G、H分别在BA、DC的延长线上,且AG = CH,连结GE、EH、HF、FG.求证:四边形GEHF是平行四边形.

答案：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB = CD，AB//CD。
∴∠GBE = ∠HDF。
∵AG = CH，
∴AB + AG = CD + CH，即BG = DH。在△GBE和△HDF中，
$\begin{cases}∠GBE = ∠HDF \\BE = DF\end{cases}$
∴△GBE≌△HDF。
∴GE = HF，∠GEB = ∠HFD。
∵∠GEF = 180° - ∠GEB，∠HFE = 180° - ∠HFD，
∴∠GEF = ∠HFE。
∴GE//HF。
∴四边形GEHF是平行四边形。

9.如图,E、F分别是▱ABCD的边AD、BC上的点,且AE = CF.若M、N分别是BE、DF的中点,连结MF、NE,试判断四边形MFNE是否为平行四边形，并说明理由.

答案： 四边形MFNE是平行四边形。理由:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB = CD，AD//BC，∠A = ∠C。在△ABE和△CDF中，
$\begin{cases}AB = CD \\∠A = ∠C \\AE = CF\end{cases}$
∴△ABE≌△CDF。
∴BE = DF，∠AEB = ∠CFD。又
∵M、N分别是BE、DF的中点，
∴ME = BM = $\frac{1}{2}$BE，NF = DN = $\frac{1}{2}$DF。
∴ME = NF。
∵AD//BC，
∴∠AEB = ∠CBE。又
∵∠AEB = ∠CFD，
∴∠CBE = ∠CFD。
∴BE//DF，即ME//NF。
∴四边形MFNE是平行四边形。

10.如图，在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,E、F是BD上的两点，∠EAC = ∠FCA,AE = CF,BE = DF.试判断AD与BC之间的关系，并说明理由.

答案： AD = BC且AD//CB。理由:
∵∠EAC = ∠FCA，
∴AE//CF。又
∵AE = CF，
∴四边形AECF是平行四边形。
∴OA = OC，OE = OF。
∵BE = DF，
∴BE + OE = DF + OF，即OB = OD。
∴四边形ABCD是平行四边形。
∴AD = BC，AD//BC。

11.如图,在四边形ABCD中,AD//BC且AD = 9cm,BC = 6cm,点P、Q分别从点A、C同时出发,点P以1cm/s的速度从点A向点D运动,点Q以2cm/s的速度从点C向点B运动,当点Q运动到点B时，点P、Q随即停止运动.经过几秒,直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形？

答案： 设点P、Q运动的时间为ts(0≤t≤3)。由题意，得CQ = 2tcm，BQ = (6 - 2t)cm，AP = tcm，PD = (9 - t)cm。①当BQ = AP时，四边形APQB是平行四边形，即6 - 2t = t，解得t = 2。②当CQ = PD时，四边形CQPD是平行四边形，即2t = 9 - t，解得t = 3。综上所述，经过2s或3s，直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形。