《2025年通城学典课时作业本八年级数学下册华师大版》

7. (教材P89例6变式) 如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且DE = BF，G、H是对角线BD上的两点，且BH = DG。下列结论中，不一定正确的是（ ）


A. GF = EH
B. EG = FH
C. EF与AC互相平分
D. EF = AB

答案： D

8. 如图，在▱ABCD中，AB = 1，连结BD，作AE//BD，交CD的延长线于点E，过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于点F，且CF = 1，则EF的长为__________。

答案： $\sqrt{3}$

9. 如图，在△AFC中，∠FAC = 45°，FE⊥AC于点E，AD⊥AF于点A，在EF上取一点B，连结AB、BC、CD、BD，且AB = FC，AD = BC。求证：AC与BD互相平分。

答案：
∵FE⊥AC，
∴∠FEA = ∠FEC = 90°.
又
∵∠FAC = 45°，
∴∠AFE = ∠FAE = 45°.
∴FE = AE.
在Rt△AEB和Rt△FEC中，
$\begin{cases}∠AEB = ∠FEC\\∠BAE = ∠FCE\\AE = FE\end{cases}$
∴Rt△AEB≌Rt△FEC.
∴BE = CE.
∴∠CBE = ∠BCE = 45°.
∵AD⊥AF，
∴∠FAD = 90°.
∴∠CAD = 90° - 45° = 45°.
∴∠BCE = ∠CAD.
∴BC//AD.
又
∵BC = AD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴AC与BD互相平分.

10. 如图，在以BC为底的等腰三角形ABC中，点D、E、G分别在BC、AB、AC上，且EG//BC，DE//AC，延长GE至点F，使BE = BF。
(1) 求证：四边形BDEF是平行四边形；
(2) 当∠C = 45°，BD = 2时，求D、F两点间的距离。

答案：

(1)
∵△ABC是以BC为底的等腰三角形，
∴AB = AC.
∴∠ABC = ∠C.
∵EG//BC，DE//AC，
∴∠AEG = ∠ABC = ∠C，四边形CDEG是平行四边形.
∴∠DEG = ∠C.
∴∠AEG = ∠DEG.
∵BE = BF，
∴∠BEF = ∠F = ∠AEG.
∴∠F = ∠DEG.
∴BF//DE.
又
∵EF//BD，
∴四边形BDEF是平行四边形.
(2)由
(1)，得∠BEF = ∠BFE = ∠C，四边形BDEF是平行四边形.
∴EF = BD = 2.
∵∠C = 45°，
∴∠BEF = ∠BFE = 45°.
∴∠EBF = 90°.
∴在Rt△EFB中，由勾股定理，得BF² + BE² = EF² = 4.
∵BE = BF，
∴BF² = 2.
如图，过点F作FM⊥DB，交DB的延长线于点M，连结DF，则易得△BFM是等腰直角三角形，且FM = BM.
∴在Rt△BMF中，由勾股定理，得FM² + BM² = BF² = 2.
∴易得FM = BM = 1.
∴DM = BM + BD = 3.
∴在Rt△DFM中，由勾股定理，得DF = $\sqrt{FM² + DM²}$ = $\sqrt{10}$，即D、F两点间的距离为$\sqrt{10}$.