《2025年通城学典课时作业本八年级数学下册华师大版》

7. 如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连结DE、EF、BF，则图中平行四边形的个数是（ ）


A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

答案： B

8. 如图，在等边三角形ABC中，BC = 6cm，射线AG//BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动。若点E、F同时出发，设运动时间为t s，则当t的值为__________时，以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形。

答案： 2或6。解析：①当点F在点C的左侧时，由题意，得AE = t cm，BF = 2t cm，则CF = BC - BF = (6 - 2t)cm。
∵AG//BC，
∴当AE = CF时，四边形AECF是平行四边形，即t = 6 - 2t，解得t = 2。②当点F在点C的右侧时，由题意，得AE = t cm，BF = 2t cm，则CF = BF - BC = (2t - 6)cm。
∵AG//BC，
∴当AE = CF时，四边形AEFC是平行四边形，即t = 2t - 6，解得t = 6。综上所述，当t的值为2或6时，以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形。

9. 如图，在▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，对角线AC分别交BE、DF于点G、H。求证：
(1) 四边形BEDF是平行四边形；
(2) AG = CH。

答案：
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD = BC，AD//BC。
∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴DE = $\frac{1}{2}$AD，BF = $\frac{1}{2}$BC。
∴DE = BF。又
∵DE//BF，
∴四边形BEDF是平行四边形。
(2)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC。
∴∠ADF = ∠CFH，∠EAG = ∠FCH。由
(1)，得四边形BEDF是平行四边形。
∴BE//DF。
∴∠AEG = ∠ADF。
∴∠AEG = ∠CFH。
∵E、F分别是AD、BC的中点，AD = BC，
∴易得AE = CF。在△AEG和△CFH中，$\begin{cases}\angle EAG = \angle FCH\\AE = CF\\\angle AEG = \angle CFH\end{cases}$，
∴△AEG≌△CFH。
∴AG = CH。

10. 在△ABC中，AB = AC，BC = 6，点P从点B出发沿线段BA运动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线运动，当点P运动到点A时，点P、Q随即停止运动。若点P、Q运动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D。
(1) 如图①，当点P从点B出发在线段BA上运动时，过点P作AC的平行线交BC于点F，连结PC、FQ，判断四边形PFQC的形状，并证明你的结论；
(2) 如图②，过点P作PE⊥BC，垂足为E，请说明在点P、Q的运动过程中，DE的长度保持不变。

答案：

(1)四边形PFQC是平行四边形。由题意，得PB = CQ。
∵AB = AC，
∴∠B = ∠ACB。
∵PF//AQ，
∴∠PFB = ∠ACB。
∴∠B = ∠PFB。
∴PB = PF。
∴PF = CQ。又
∵PF//CQ，
∴四边形PFQC是平行四边形。
(2)如图，过点P作PM//AC交BC于点M。由
(1)，得PB = PM；
∵PE⊥BC，
∴BE = EM。
∵易得△PMD≌△QCD，
∴MD = CD。
∴DE = EM + MD = $\frac{1}{2}$BM + $\frac{1}{2}$MC = $\frac{1}{2}$(BM + MC) = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$×6 = 3，即DE的长度保持不变。