《2025年通城学典课时作业本八年级数学下册华师大版》

8. 如图,在▱ABCD中,过点D作DE⊥AB,垂足为E,过点B作BF⊥AC,垂足为F.若AB = 6,AC = 8,DE = 4,则BF的长为(　　)


A. 4
B. 3
C. $\frac{5}{2}$
D. 2

答案： B

9. (教材P77例5变式)如图,在▱ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AB = 3,△AOB的周长比△BOC的周长小1,则▱ABCD的周长是__________.

答案： 14　解析:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA = OC，AB = CD，AD = BC.
∵△AOB的周长比△BOC的周长小1，
∴(BC + OB + OC) - (AB + OB + OA) = 1.
∴BC - AB = 1.
又
∵AB = 3，
∴BC = 4.
∴▱ABCD的周长为2(AB + BC) = 14.

10. 如图,在▱ABCD中,分别以BC、CD为边作等腰三角形BCF和等腰三角形CDE,使BC = BF,CD = DE,∠CBF = ∠CDE,连结AE、AF.
(1)求证:△ABF≌△EDA;
(2)延长AB,与CF相交于点G,若AF⊥AE,求证:FB⊥BC.

答案：

(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB = CD，AD = BC，∠ABC = ∠ADC.
∵BC = BF，CD = DE，
∴BF = AD，AB = DE.
∵∠ABF + ∠ABC + ∠CBF = 360°，∠EDA + ∠ADC + ∠CDE = 360°，∠CBF = ∠CDE，
∴∠ABF = ∠EDA.
在△ABF和△EDA中，
BF = AD，
∠ABF = ∠EDA，
AB = DE，
∴△ABF ≌ △EDA（SAS）.
(2)如图，延长FB交AD于点H.
∵AF⊥AE，
∴∠EAF = 90°.
由
(1)，得△ABF ≌ △EDA，
∴∠AFB = ∠EAD.
∵∠EAD + ∠FAH = 90°，
∴∠AFB + ∠FAH = 90°.
∴∠AHF = 90°，即FH⊥AD.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC.
∴FB⊥BC.

11. 问题:如图,在▱ABCD中,AB = 8,AD = 5,∠DAB、∠ABC的平分线AE、BF分别与直线CD相交于点E、F,求EF的长.
答案:EF = 2.
探究:
(1)把“问题”中的条件“AB = 8”去掉,其余条件不变.
①当点E与点F重合时,求AB的长;
②当点E与点C重合时,求EF的长.
(2)把“问题”中的条件“AB = 8,AD = 5”去掉,其余条件不变.当点C、D、E、F中相邻两点间的距离相等时,求$\frac{AD}{AB}$的值.

答案：

(1)①如图①，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD = AB，BC = AD = 5，AB//CD.
∴∠DEA = ∠BAE.
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE = ∠BAE.
∴∠DEA = ∠DAE.
∴DE = AD = 5.
同理，可得CF = BC = 5.
∵点E与点F重合，
∴AB = CD = DE + CF = 10.
②如图②，
∵点E与点C重合，
∴易得DE = AD = 5，CF = BC = 5.
∴点F与点D重合.
∴EF = CD = 5.
(2)分三种情况讨论:
①如图③，由
(1)，可得AD = DE.
∵点C、D、E、F中相邻两点间的距离相等，
∴AD = DE = EF = CF.
∴易得$\frac{AD}{AB}$ = $\frac{1}{3}$.
②如图④，由
(1)，可得AD = DE = CF.
∵DF = EF = CE，
∴易得$\frac{AD}{AB}$ = $\frac{2}{3}$.
③如图⑤，由
(1)，可得AD = DE = CF.
∵DF = CD = CE，
∴易得$\frac{AD}{AB}$ = 2.
综上所述，$\frac{AD}{AB}$的值为$\frac{1}{3}$或$\frac{2}{3}$或2.