《2025年通城学典课时作业本八年级数学下册华师大版》

8.已知关于x的分式方程$\frac{x}{x - 5} = 3 - \frac{a}{x - 5}$有增根，则a的值为(　　)
A.4　　
　B.5　　
　C.6　　
　D. - 5

答案： D解析：
∵方程有增根，
∴$x - 5 = 0$。
∴$x = 5$。解分式方程$\frac{x}{x - 5} = 3 - \frac{a}{x - 5}$，方程两边同乘以$(x - 5)$，得$x = 3(x - 5) - a$。去括号，得$x = 3x - 15 - a$。把$x = 5$代入整式方程，解得$a = - 5$。

9.解关于x的分式方程$\frac{1}{x - 1} + 1 = \frac{m}{1 - x}$时不会产生增根，求m的取值范围。

答案： 方程两边同乘以$(x - 1)$，得$1 + x - 1 = - m$，解得$x = - m$。当$x - 1 = 0$时，分式方程有增根，此时$x = 1$。把$x = 1$代入$x = - m$，得$m = - 1$。
∵分式方程不会产生增根，
∴$m≠ - 1$。

10.已知关于x的分式方程$\frac{2}{x - 1} + \frac{mx}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{1}{x + 2}$。
(1)若方程的增根为x = 1，求m的值；
(2)若方程有增根，求m的值；
(3)若方程无解，求m的值。

答案： 方程两边同乘以$(x - 1)(x + 2)$，得$2(x + 2) + mx = x - 1$。整理，得$(m + 1)x = - 5$。
(1)
∵$x = 1$是分式方程的增根，
∴$m + 1 = - 5$，解得$m = - 6$。
(2)
∵原分式方程有增根，
∴$(x + 2)(x - 1) = 0$。
∴$x = - 2$或$x = 1$。当$x = - 2$时，$m = \frac{3}{2}$；当$x = 1$时，$m = - 6$。综上所述，$m$的值为$\frac{3}{2}$或$- 6$。
(3)当$m + 1 = 0$，即$m = - 1$时，原分式方程无解。当$m + 1≠0$时，要使原分式方程无解，即原分式方程有增根。由
(2)，得$m = \frac{3}{2}$或$- 6$。综上所述，$m$的值为$- 1$或$\frac{3}{2}$或$- 6$。

11.已知关于x的分式方程$1 + \frac{x}{2 - x} = \frac{2m}{x^2 - 4}$的解也是不等式组$\begin{cases}\frac{1 - x}{2} ＞ x - 2 \\ 2(x - 3) \leq x - 5 \end{cases}$的一个解，求m的取值范围。

答案： 方程两边同乘以$(x + 2)(x - 2)$，得$(x + 2)(x - 2) - x(x + 2) = 2m$，解得$x = - m - 2$。
∵$(x + 2)(x - 2)≠0$，
∴$x≠±2$。
∴$m≠ - 4$且$m≠0$。
∴方程的解为$x = - m - 2$，其中$m≠ - 4$且$m≠0$。解不等式$\frac{1 - x}{2}＞x - 2$，得$x＜\frac{5}{3}$；解不等式$2(x - 3)≤x - 5$，得$x≤1$。
∴该不等式组的解集为$x≤1$。
∴$- m - 2≤1$，解得$m≥ - 3$。
∴$m$的取值范围是$m≥ - 3$且$m≠0$。

12.已知关于x的分式方程$\frac{m}{2 - 2x} - \frac{4}{2x - 2} = 1$的解为整数，关于y的不等式组$\begin{cases}m + 3y ＞ - 3y + 4 \\ 2y ＜ 3 \end{cases}$有解且至多有2个整数解，求符合条件的整数m的和。

答案： 方程两边同乘以$(2 - 2x)$，得$m + 4 = 2 - 2x$，解得$x = -\frac{m}{2} - 1$。
∵$2 - 2x≠0$，
∴$x≠1$。
∴$m≠ - 4$。解不等式$m + 4y＜3$，得$y＜\frac{3 - m}{4}$；解不等式$3y + 2＞ - y + 3$，得$y＞\frac{1}{4}$。
∴该不等式组的解集为$\frac{1}{4}＜y＜\frac{3 - m}{4}$。
∵该不等式组有解且至多有2个整数解，
∴$\frac{1}{4}＜\frac{3 - m}{4}≤3$，即$- 9≤m＜2$。
∵$x = -\frac{m}{2} - 1$为整数，
∴符合条件的整数$m$的值为$- 8$、$- 6$、$- 2$、$0$。
∴符合条件的整数$m$的和为$- 8 - 6 - 2 + 0 = - 16$。