《2025年通城学典课时作业本八年级数学下册华师大版》

1.若分式$\frac{1}{2 + x}$与$\frac{2}{3x - 1}$的值相等,则x的值为________.

答案： 5

2.(2023·长春朝阳期末)对于非零实数a、b，规定$a\star b = \frac{1}{b} - \frac{1}{a}$。若$(x - 1)\star2 = 1$，则x的值为________。

答案： -1

3.若分式$\frac{2}{x + 2}$的值比分式$\frac{x}{x - 1}$的值小1，求x的值。

答案： 由题意，得$\frac{2}{x + 2} + 1 = \frac{x}{x - 1}$。方程两边同乘以$(x + 2)(x - 1)$，得$2(x - 1) + (x + 2)(x - 1) = x(x + 2)$，解得$x = 4$。检验：把$x = 4$代入$(x + 2)(x - 1)$得，$6×3≠0$。
∴$x = 4$是原方程的解。
∴$x$的值是$4$。

4.已知关于x的分式方程$\frac{2}{a + x} - 1 = \frac{3}{2x - 1}$的解与方程$3(x + 2) = 9$的解相同，求a的值。

答案： 解方程$3(x + 2) = 9$，得$x = 1$。将$x = 1$代入$\frac{2}{a + x} - 1 = \frac{3}{2x - 1}$，得$\frac{2}{a + 1} - 1 = \frac{3}{2 - 1}$，即$\frac{2}{a + 1} - 1 = 3$，$\frac{2}{a + 1} = 4$。方程两边同乘以$(a + 1)$，得$2 = 4(a + 1)$，解得$a = -\frac{1}{2}$。经检验$a = -\frac{1}{2}$是原方程的解。
∴$a$的值是$-\frac{1}{2}$。

5.已知关于x的方程$\frac{2x - a}{x - 1} = 1$的解为正数，求a的取值范围。

答案： 方程两边同乘以$(x - 1)$，得$2x - a = x - 1$，解得$x = a - 1$。
∵关于$x$的方程$\frac{2x - a}{x - 1} = 1$的解为正数，
∴$a - 1＞0$且$a - 1≠1$，解得$a＞1$且$a≠2$。
∴$a$的取值范围是$a＞1$且$a≠2$。

6.若关于x的分式方程$\frac{x - a}{x + 2} + 1 = \frac{2}{x + 2}$的解为负数，求负整数a的值。

答案： 方程两边同乘以$x(x + 2)$，得$(x + 1)(x + 2) = x(x - a)$，解得$x = -\frac{2}{3 + a}$。
∵关于$x$的分式方程$\frac{x + 1}{x} = \frac{x - a}{x + 2}$的解为负数，
∴$-\frac{2}{3 + a}＜0$且$-\frac{2}{3 + a} + 2≠0$，解得$a＞ - 3$且$a≠ - 2$。
∵$a$是负整数，
∴$a = - 1$。

7.已知关于x的分式方程$\frac{m}{x^2 - 8x + 16} = 2 - \frac{2x - 1}{x - 4}$的解大于1，求m的取值范围。

答案： 方程两边同乘以最简公分母$(x - 4)^2$，得$m = 2(x - 4)^2 - (2x - 1)(x - 4)$。去括号，得$m = 2x^2 - 16x + 32 - 2x^2 + 8x + x - 4$。解得$x = \frac{28 - m}{7}$。由题意，得$\frac{28 - m}{7}＞1$且$\frac{28 - m}{7}≠4$，
∴$m＜21$且$m≠0$。
∴$m$的取值范围是$m＜21$且$m≠0$。