《2025年通城学典课时作业本八年级数学下册华师大版》

15.不改变分式的值，将下面分式的分子、分母中各项的系数都化为整数，且结果为最简分式.
(1)$\frac{0.2x + 3y}{x + 0.1y}$
(2)$\frac{\frac{1}{4}x+\frac{1}{3}y}{\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}y}$

答案：
(1)化简$\frac{0.2x + 0.13y}{0.2x + 0.13y}×100$，分子分母相同，结果为100；化简$\frac{\frac{1}{4}x+\frac{1}{3}y}{\frac{1}{4}}$，给分子分母同乘12得$\frac{(\frac{1}{4}x+\frac{1}{3}y)×12}{\frac{1}{4}×12}=\frac{3x + 4y}{3}$
(2)化简$\frac{x + y}{1.1}$，分子分母同乘10得$\frac{10(x + y)}{11}$；化简$\frac{\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y}{\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}y}$，给分子分母同乘12得$\frac{(\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y)×12}{(\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}y)×12}=\frac{6x + 4y}{6x - 4y}=\frac{3x + 2y}{3x - 2y}$

16.计算：
(1)$\frac{a - b}{a^{2}+ab}\div\frac{ab - a^{2}}{a^{2}b^{2}-a^{4}}$
(2)$(\frac{a^{3}b}{2c})^{2}\cdot(-\frac{bc}{a^{2}})^{3}\div(-\frac{3b^{2}c}{2a})$
(3)$\frac{1}{x - 3}+\frac{1 - x}{6 + 2x}-\frac{6}{x^{2}-9}$
(4)(2024.泸州)$(x + \frac{x}{x - 2y})\div\frac{x^{2}-y^{2}}{x}$

答案：
(1)原式=$\frac{a - b}{a(a + b)}·\frac{a^{2}(b^{2}-a^{2})}{a(b - a)}=\frac{a - b}{a(a + b)}·\frac{a^{2}(b + a)(b - a)}{a(b - a)}=b - a$
(2)原式=$\frac{ab}{4c^{2}}·(-\frac{6b^{2}c}{a})+\frac{9b^{2}c^{2}}{4a^{2}}=-\frac{6ab^{3}c}{4ac^{2}}+\frac{9b^{2}c^{2}}{4a^{2}}=-\frac{3b^{3}}{2c}+\frac{9b^{2}c^{2}}{4a^{2}}$
(3)原式=$\frac{1}{x - 3}+\frac{1 - x}{2(x + 3)}-\frac{6}{(x + 3)(x - 3)}=\frac{2(x + 3)}{2(x + 3)(x - 3)}+\frac{(1 - x)(x - 3)}{2(x + 3)(x - 3)}-\frac{12}{2(x + 3)(x - 3)}=\frac{2x+6+x - 3 - x^{2}+3x - 12}{2(x + 3)(x - 3)}=\frac{-x^{2}+6x - 9}{2(x + 3)(x - 3)}=-\frac{(x - 3)^{2}}{2(x + 3)(x - 3)}=-\frac{x - 3}{2x + 6}$
(4)原式=$\frac{x^{2}-2xy + y^{2}}{x}÷\frac{(x + y)(x - y)}{x}=\frac{(x - y)^{2}}{x}·\frac{x}{(x + y)(x - y)}=\frac{x - y}{x + y}$

17.工程队计划修建一段长1200米的公路，采取新的施工方式后，实际每天修建公路的长度比原计划增加15米，从而缩短了工期，设原计划每天修建公路x米.
(1)原计划修建这段公路需要多少天？实际修建这段公路用了多少天？
(2)实际修建这段公路的工期比原计划缩短了几天(结果要化简)？

答案：
(1)原计划每天修建公路x米，实际每天修建公路(x + 15)米，则原计划修建这段公路需要$\frac{1200}{x}$天，实际修建这段公路用了$\frac{1200}{x + 15}$天。
(2)实际修建这段公路的工期比原计划缩短了$\frac{1200}{x}-\frac{1200}{x + 15}=\frac{1200(x + 15)}{x(x + 15)}-\frac{1200x}{x(x + 15)}=\frac{18000}{x(x + 15)}$(天)

18.先化简，再求值：$\frac{a^{2}-3a}{a + 2}\div(a - 2-\frac{5}{a + 2})+\frac{a^{2}-a}{a + 3}$，其中a² - 2a - 6 = 0.

答案： 原式=$\frac{a(a - 3)}{a + 2}÷\frac{a^{2}-4 - 5}{a + 2}+\frac{a^{2}-a}{a + 3}=\frac{a(a - 3)}{a + 2}·\frac{a + 2}{(a + 3)(a - 3)}+\frac{a^{2}-a}{a + 3}=\frac{a}{a + 3}+\frac{a^{2}-a}{a + 3}=\frac{a^{2}}{a + 3}$。
∵a²−2a−6 = 0，
∴a² = 2a + 6。
∴原式=$\frac{2a + 6}{a + 3}=\frac{2(a + 3)}{a + 3}=2$