《2025年通城学典课时作业本八年级数学下册华师大版》

11. 已知$4x - 3y - 6z = 0$,$x + 2y - 7z = 0$,且$xyz\neq0$,求$\frac{5x^{2}+2y^{2}-z^{2}}{2x^{2}-3y^{2}-10z^{2}}$的值.

答案：
∵$4x - 3y - 6z = 0$，$x + 2y - 7z = 0$，且$xyz \neq 0$，
∴$\begin{cases}4x - 3y = 6z \\ x + 2y = 7z \end{cases}$，解关于$x$、$y$的二元一次方程组，得$\begin{cases}x = 3z \\ y = 2z \end{cases}$。
∴原式=$\frac{5\times(3z)^2 + 2\times(2z)^2 - z^2}{2\times(3z)^2 - 3\times(2z)^2 - 10z^2} = \frac{45z^2 + 8z^2 - z^2}{18z^2 - 12z^2 - 10z^2} = \frac{52z^2}{-4z^2} = -13$

12. 已知下列等式:$1\times\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}$;$\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$;$\frac{1}{3}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$;$\frac{1}{4}\times\frac{1}{5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$;……
(1)请你按这些等式的结构特征写出它的一般性等式(用含$n$的式子表示,$n$为正整数);
(2)验证(1)中的等式是否成立;
(3)利用(1)中的等式计算:$\frac{1}{x(x + 1)}+\frac{1}{(x + 1)(x + 2)}+\frac{1}{(x + 2)(x + 3)}+\frac{1}{(x + 3)(x + 4)}$.

答案：
(1)由题意，可知它的一般性等式为$\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} = \frac{1}{n(n + 1)}$
(2)
∵$\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} = \frac{n + 1}{n(n + 1)} - \frac{n}{n(n + 1)} = \frac{n + 1 - n}{n(n + 1)} = \frac{1}{n(n + 1)}$，
∴
(1)中的等式成立。
(3)原式=$\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x + 3} - \frac{1}{x + 4} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 4} = \frac{x + 4}{x(x + 4)} - \frac{x}{x(x + 4)} = \frac{4}{x^2 + 4x}$

13. 阅读下面的解题过程:
已知$\frac{x}{x^{2}+1}=\frac{1}{3}$,求$\frac{x^{2}}{x^{4}+1}$的值.
解:由$\frac{x}{x^{2}+1}=\frac{1}{3}$,得$x\neq0$.
∴$\frac{x^{2}+1}{x}=3$,即$x+\frac{1}{x}=3$.
∴$\frac{x^{4}+1}{x^{2}}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=(x+\frac{1}{x})^{2}-2=3^{2}-2=7$.
∴$\frac{x^{2}}{x^{4}+1}$的值为$7$的倒数，即$\frac{1}{7}$.
以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”.请你利用“倒数法”解决下面的问题:
(1)已知$\frac{x}{x^{2}-x + 1}=\frac{1}{7}$,求$\frac{x^{2}}{x^{4}+x^{2}+1}$的值;
(2)已知$\frac{xy}{x + y}=2$,$\frac{yz}{y + z}=\frac{4}{3}$,$\frac{zx}{z + x}=\frac{4}{3}$,求$\frac{xyz}{xy + yz + zx}$的值.

答案：
(1)由$\frac{x}{x^2 - x + 1} = \frac{1}{7}$，得$x \neq 0$。
∴$\frac{x^2 - x + 1}{x} = x + \frac{1}{x} - 1 = 7$，即$x + \frac{1}{x} = 8$。
∴$\frac{x^2 + x + 1}{x^2} = 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 1 = 8^2 - 1 = 63$。
∴$\frac{x^2}{x^2 + x + 1}$的值为$63$的倒数，即$\frac{1}{63}$。
(2)由$x + y = 2$，得$xy \neq 0$。
∴$\frac{x + y}{xy} = \frac{1}{y} + \frac{1}{x} = \frac{1}{2}$。
同理，可得$\frac{y + z}{yz} = \frac{1}{z} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4}$，$\frac{z + x}{zx} = \frac{1}{x} + \frac{1}{z} = \frac{3}{4}$。
∵$\frac{1}{y} + \frac{1}{x} + \frac{1}{z} + \frac{1}{y} + \frac{1}{x} + \frac{1}{z} = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{3}{4}$，
∴$2(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) = 2$，即$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$。
∴$\frac{xy + yz + zx}{xyz} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$。
∴$\frac{xyz}{xy + yz + zx}$的值为$1$的倒数，即$1$