《2025年通城学典课时作业本八年级数学下册华师大版》

1. 计算:
(1)$\frac{x^{2}+4x + 4}{x^{2}-4}+\frac{2x^{2}}{2x - x^{2}}$;
(2)$\frac{a^{2}+6a + 9}{a^{2}+3a}-\frac{a^{2}-9}{a^{2}+6a + 9}\div\frac{2a}{a + 3}$.

答案：
(1)原式=$\frac{(x + 2)^2}{(x + 2)(x - 2)} + \frac{2x^2}{x(2 - x)} = \frac{x + 2}{x - 2} - \frac{2x}{x - 2} = \frac{x + 2 - 2x}{x - 2} = \frac{2 - x}{x - 2} = -1$
(2)原式=$\frac{a(a + 6)}{(a + 3)} \cdot \frac{(a + 3)(a - 3)}{(a + 3)^2} \cdot \frac{a + 3}{2a} = (\frac{a + 6}{a + 3} - \frac{a - 3}{a + 3}) \cdot \frac{a + 3}{2a} = \frac{9}{a + 3} \cdot \frac{a + 3}{2a} = \frac{9}{2a}$

2. (2024.长春绿园期末)先化简，再求值:$(a + 1-\frac{3}{a - 1})\div\frac{a^{2}-4a + 4}{a - 1}$,其中$a = 5$.

答案： 原式=$\frac{(a + 1)(a - 1) - 3}{a - 1} \div \frac{(a - 2)^2}{a - 1} = \frac{a^2 - 4}{a - 1} \div \frac{(a - 2)^2}{a - 1} = \frac{(a + 2)(a - 2)}{a - 1} \cdot \frac{a - 1}{(a - 2)^2} = \frac{a + 2}{a - 2}$。当$a = 5$时，原式=$\frac{5 + 2}{5 - 2} = \frac{7}{3}$

3. 若$m - n = 2$,则代数式$\frac{m^{2}-n^{2}}{m}\cdot\frac{2m}{m + n}$的值是(　　)
A. -2　
　B. 2　
　C. -4　
　D. 4

答案： D

4. 已知$x^{2}-x - 1 = 0$,计算$(\frac{2}{x + 1}-\frac{1}{x})÷\frac{x^{2}-x}{x^{2}+2x + 1}$的结果是(　　)
A. 1　
　B. -1　
　C. 2　
　D. -2

答案： A

5. 若$abc = 1$,则$\frac{a}{ab + a + 1}+\frac{b}{bc + b + 1}+\frac{c}{ca + c + 1}$的值是(　　)
A. 1　
　B. 0　
　C. -1　
　D. -2

答案： A　解析：
∵$abc = 1$，
∴$a$、$b$、$c$的值均不为$0$。
∴$\frac{a}{ab + a + 1} + \frac{b}{bc + b + 1} + \frac{c}{ca + c + 1} = \frac{ac}{abc + ac + c} + \frac{b}{bc + b + 1} + \frac{bc}{abc + bc + b} = \frac{ac}{1 + ac + c} + \frac{b}{bc + b + 1} + \frac{bc}{1 + bc + b} = \frac{1}{b + 1 + bc} + \frac{b}{bc + b + 1} + \frac{bc}{1 + bc + b} = \frac{1 + b + bc}{b + 1 + bc} = 1$

6. (2024.青海)先化简,再求值:$(\frac{1}{y}-\frac{1}{x})\div\frac{x^{2}-y^{2}}{xy}$,其中$x = 2 - y$.

答案： 原式=$(\frac{x}{y} - xy) + (\frac{x^2}{xy} - x^2y) = \frac{x - xy^2 + x^2 - x^2y^2}{xy} = \frac{x(1 - y^2) + x^2(1 - y^2)}{xy} = \frac{(x + x^2)(1 - y^2)}{xy} = \frac{x(1 + x)(1 + y)(1 - y)}{xy} = \frac{(1 + x)(1 + y)(1 - y)}{y}$。
∵$x = 2 - y$，
∴$x + y = 2$。
原式=$\frac{1}{x + y} = \frac{1}{2}$

7. 已知$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{m + n}$,则$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$的值为(　　)
A. 1　
　B. -1　
　C. 0　
　D. 2

答案： B

8. 已知$x^{2}-3x - 4 = 0$,求$\frac{x}{x^{2}-x - 4}$的值.

答案：
∵$x^2 - 3x - 4 = 0$，
∴$x^2 - 4 = 3x$。
∴$\frac{x}{x^2 - x - 4} = \frac{x}{3x - x} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}$

9. 已知$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}\neq0$,则$\frac{2x + y - z}{3x - 2y + z}$的值为(　　)
A. $\frac{3}{4}$　
　B. $\frac{4}{3}$　
　C. $\frac{2}{3}$　
　D. 1

答案： A

10. 已知非零实数$a$、$b$、$c$满足$\frac{a}{2}=\frac{b - c}{3}=\frac{a + c}{5}$,求$\frac{a + c}{2a + b}$的值.

答案： 设$\frac{a}{2} = \frac{b - c}{3} = \frac{a + c}{5} = k$，则$a = 2k$①，$b - c = 3k$②，$a + c = 5k$③。
由① + ② + ③，得$2a + b = 10k$。
∴$\frac{a + c}{2a + b} = \frac{5k}{10k} = \frac{1}{2}$