《2025年通城学典课时作业本八年级数学下册华师大版》

10. 下列计算中，错误的是(　　)
A. $\frac{x}{x^2 - y^2} + \frac{y}{y^2 - x^2} = \frac{1}{x - y}$
B. $\frac{8}{a^2 - 4} + \frac{3}{2 - a} = -\frac{3a - 2}{a^2 - 4}$
C. $\frac{y}{x + y} + \frac{xy}{y^2 - x^2} - \frac{y}{y^2 - x^2}$
D. $\frac{x}{x - 1} - \frac{y}{y - 1} = \frac{x - y}{(x - 1)(y - 1)}$

答案： D

11. 有一个正确的等式$(\frac{1}{a + b}$ + $\frac{1}{a - b})$ += $\frac{2}{a + b}$被小颖不小心滴上了墨汁，则被墨汁遮住部分的有理式为(　　)
A. $\frac{a}{a - b}$
B. $\frac{a - b}{a}$
C. $\frac{a}{a + b}$
D. $\frac{4a}{a^2 - b^2}$

答案： A

12. 如果$a - b = 4$，且$a \neq 0$，$b \neq 0$，那么代数式$\frac{a}{b(a - b)} \div \frac{a + b}{b}$的值是(　　)
A. -4
B. 4
C. 2
D. -2

答案： B

13. 当$x = -5$时，$(\frac{1}{1 - x} - \frac{1}{1 + x}) \div \frac{x}{x^2 - 1} + x =$________.

答案： $- \frac{2}{25}$

14. (2023·苏州)先化简，再求值:$\frac{a - 1}{a - 2} \cdot \frac{a^2 - 4}{a^2 - 2a + 1} - \frac{2}{a - 1}$，其中$a = \frac{1}{2}$.

答案： 原式=$\frac{a - 1}{a - 2} \cdot \frac{(a + 2)(a - 2)}{(a - 1)^2} - \frac{2}{a - 1} = \frac{a + 2}{a - 1} - \frac{2}{a - 1} = \frac{a + 2 - 2}{a - 1} = \frac{a}{a - 1}$。当a = $\frac{1}{2}$时，原式=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2} - 1} = - 1$

15. (2024·达州)先化简$\frac{x}{x - 2} - \frac{x}{x + 2} \div \frac{x^2 + x}{x^2 - 4}$，再从$-2$、$-1$、$0$、$1$、$2$中选择一个合适的数代入求值.

答案： 原式=$\frac{x(x + 2) - x(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} \cdot \frac{(x + 2)(x - 2)}{x(x + 1)} = \frac{x^2 + 2x - x^2 + 2x}{(x + 2)(x - 2)} \cdot \frac{(x + 2)(x - 2)}{x(x + 1)} = \frac{4x}{(x + 2)(x - 2)} \cdot \frac{(x + 2)(x - 2)}{x(x + 1)} = \frac{4}{x + 1}$。要使分式有意义，x - 2 ≠ 0且x + 2 ≠ 0且x ≠ 0且x + 1 ≠ 0，
∴x ≠ 2且x ≠ - 2且x ≠ 0且x ≠ - 1。
∴当x = 1时，原式=$\frac{4}{1 + 1} = 2$

16. 甲、乙两名采购员两次去同一家饲料公司购买同种饲料.两次购买的饲料单价不同，两名采购员的购买方式也不同，其中，甲每次购买$1000$千克，乙每次用去$800$元.设两次购买的饲料的单价分别是$m$元和$n$元($m$、$n$是正数，且$m \neq n$).
(1) 甲、乙两名采购员两次购买的饲料的平均单价各是多少(平均单价 = 花的总钱数÷购买的总质量)?
(2) 谁的购买方式更合算？

答案：
(1)
∵两次购买的饲料的单价分别是m元和n元(m、n是正数，且m ≠ n)，
∴甲两次购买的饲料的平均单价是$\frac{1000m + 1000n}{2×1000} = \frac{m + n}{2}$(元)，乙两次购买的饲料的平均单价是$\frac{800 + 800}{\frac{800}{m} + \frac{800}{n}} = \frac{2mn}{m + n}$(元)
(2)甲、乙两名采购员两次购买的饲料的平均单价的差是$\frac{m + n}{2} - \frac{2mn}{m + n} = \frac{(m + n)^2}{2(m + n)} - \frac{4mn}{2(m + n)} = \frac{m^2 + 2mn + n^2 - 4mn}{2(m + n)} = \frac{(m - n)^2}{2(m + n)}$(元)。
∵m、n是正数，且m ≠ n，
∴$\frac{(m - n)^2}{2(m + n)} ＞ 0$，即$\frac{m + n}{2} - \frac{2mn}{m + n} ＞ 0$。
∴$\frac{m + n}{2} ＞ \frac{2mn}{m + n}$。
∴乙的购买方式更合算