《2025年通城学典课时作业本八年级数学下册华师大版》

3. 如图，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过点B、D作BF⊥直线a于点F、DE⊥直线a于点E。若DE = 4，BC = 5，则EF的长为__________。

答案： 7

4. 如图，E是正方形ABCD的边BC上的动点，∠AEF = 90°，且EF = AE，FH⊥BC，交BC的延长线于点H。
(1) 求证：BE = CH；
(2) 若AB = 3，BE = x，连结DF，用x表示以DF为边长的正方形的面积。

答案：

(1)
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B = 90°，AB = BC。
∴∠AEB + ∠BAE = 90°。
∵∠AEF = 90°，
∴∠AEB + ∠HEF = 90°。
∴∠BAE = ∠HEF。
∵FH⊥BC，
∴∠H = 90°，
∴∠B = ∠H。在△ABE和△EHF中，
$\begin{cases}\angle B = \angle H\\\angle BAE = \angle HEF\\AE = EF\end{cases}$
∴△ABE ≌ △EHF，
∴BE = HF，AB = EH。
∴AB = BC = EH。
∴BC - EC = EH - EC，即BE = CH。
(2)如图，过点F作FP⊥CD于点P。
∵∠FPC = ∠PCH = ∠H = 90°，BE = CH = HF，
∴四边形PCHF是正方形，
∴PF = PC = CH = BE = x，PD = CD - PC = AB - PC = 3 - x。在Rt△DPF中，由勾股定理得DF² = PD² + PF²，即DF² = (3 - x)² + x² = 2x² - 6x + 9。
∴以DF为边长的正方形的面积为DF² = 2x² - 6x + 9。

5. 如图，在正方形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD上，∠MAN = 45°。
(1) 求证：MN = BM + DN；
(2) 当AB = 6，MN = 5时，求△CMN的面积。

答案：

(1)如图，延长CB至点G，使BG = DN，连结AG。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB = AD，∠ABC = ∠D = ∠BAD = 90°。
∴∠ABG = 90°，
∴∠D = ∠ABG。在△ADN和△ABG中，
$\begin{cases}AD = AB\\\angle D = \angle ABG\\DN = BG\end{cases}$
∴△ADN ≌ △ABG，
∴AN = AG，∠DAN = ∠BAG。
∴∠MAG = ∠MAB + ∠BAG = ∠MAB + ∠DAN = 90° - ∠MAN = 90° - 45° = 45°。
∴∠MAG = ∠MAN。在△MAN和△MAG中，
$\begin{cases}AN = AG\\\angle MAN = \angle MAG\\AM = AM\end{cases}$
∴△MAN ≌ △MAG，
∴MN = MG = BM + BG = BM + DN。
(2)由
(1)知△MAN ≌ △MAG，
∴MG = MN = 5。
∴$S_{\triangle MAN}=S_{\triangle MAG}=\frac{1}{2}MG\cdot AB=\frac{1}{2}\times5\times6 = 15$。又
∵$S_{\triangle MAG}=S_{\triangle ABG}+S_{\triangle ABM}=S_{\triangle ADN}+S_{\triangle ABM}$，
∴$S_{\triangle CMN}=S_{正方形ABCD}-S_{\triangle ADN}-S_{\triangle ABM}-S_{\triangle MAN}=S_{正方形ABCD}-2S_{\triangle MAN}=6\times6 - 2\times15 = 6$。