《2025年通城学典课时作业本八年级数学下册华师大版》

1. 已知四边形ABCD是一个正方形花园。
(1) 如图①，点E、F是它的两个门，且DE = CF，要修建两条路BE和AF，这两条路等长吗？并说明理由。
(2) 如图②，在正方形四边点E、F、G、H处各开一个门，并修建两条路EG和FH，使得EG⊥FH，这两条路等长吗？并说明理由。

答案：

(1)这两条路等长。理由：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB = AD = CD，∠BAD = ∠D = 90°。
∵DE = CF，
∴AD - DE = CD - CF，即AE = DF。在△BAE和△ADF中，
$\begin{cases}AB = AD\\\angle BAE = \angle D\\AE = DF\end{cases}$
∴△BAE ≌ △ADF，
∴BE = AF，即这两条路等长。
(2)这两条路等长。理由：如图，过点E作EM⊥BC于点M，交HF于点P，过点H作HN⊥CD于点N，交EM于点Q。
∴∠EMG = ∠EMC = 90°，∠HNF = ∠HND = 90°，
∴∠EMG = ∠HNF。
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A = ∠C = ∠D = 90°，AD = CD。
∴∠A = ∠HND = ∠D = 90°，∠EMC = ∠C = ∠D = 90°。
∴四边形AHND、四边形EMCD都是矩形。
∴EM//CD，HN = AD，EM = CD。
∴∠HQP = ∠HNF = 90°，HN = EM。
∴∠NHF + ∠HPQ = 90°。
∵EG⊥FH，
∴∠MEG + ∠HPQ = 90°。
∴∠MEG = ∠NHF。在△EMG和△HNF中，
$\begin{cases}\angle MEG = \angle NHF\\EM = HN\\\angle EMG = \angle HNF\end{cases}$
∴△EMG ≌ △HNF，
∴EG = HF，即这两条路等长。

2. 如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE，连结BG、DE。求证：
(1) BG = DE；
(2) BG⊥DE。

答案：

(1)
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，
∴BC = DC，CG = CE，∠BCD = ∠GCE = 90°。
∴∠BCD + ∠DCG = ∠GCE + ∠DCG，即∠BCG = ∠DCE。在△BCG和△DCE中，
$\begin{cases}BC = DC\\\angle BCG = \angle DCE\\CG = CE\end{cases}$
∴△BCG ≌ △DCE，
∴BG = DE。
(2)如图，设DC与BG的交点为O，DE与BG的交点为H。由
(1)知△BCG ≌ △DCE，
∴∠GBC = ∠EDC。
∵∠BCD = 90°，
∴∠GBC + ∠BOC = 90°。
∵∠BOC = ∠DOG，
∴∠EDC + ∠DOG = 90°，
∴∠DHB = 90°，即BG⊥DE。