《2025年1加1轻巧夺冠优化训练七年级数学下册人教版银版》

6 已知关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}3x - my = 5\\2x + ny = 6\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 1\\y = 2\end{cases}$，求关于$a$，$b$的二元一次方程组$\begin{cases}3(a + b)-m(a - b)=5\\2(a + b)+n(a - b)=6\end{cases}$的解.

答案： 解：$\because$关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}3x - my = 5, \\2x + ny = 6\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 1, \\y = 2.\end{cases}$
$\therefore$关于$a$，$b$的二元一次方程组
$\begin{cases}3(a + b)-m(a - b)=5, \\2(a + b)+n(a - b)=6\end{cases}$
满足$\begin{cases}a + b = 1, \\a - b = 2,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\frac{3}{2}, \\b = - \frac{1}{2}.\end{cases}$
$\therefore$关于$a$，$b$的二元一次方程组
$\begin{cases}3(a + b)-m(a - b)=5, \\2(a + b)+n(a - b)=6\end{cases}$的解是$\begin{cases}a=\frac{3}{2}, \\b = - \frac{1}{2}.\end{cases}$

7 (2024·烟台一模)阅读下列解方程的解法，然后解决有关问题.
解方程组$\begin{cases}19x + 18y = 17&①\\17x + 16y = 15&②\end{cases}$时，如果考虑常规的消元法(即代入消元法和加减消元法)那将非常麻烦！若用下面的方法，则轻而易举.
解：① - ②，得$2x + 2y = 2$，即$x + y = 1$. ③
③×16，得$16x + 16y = 16$. ④
② - ④，得$x = - 1$.
把$x = - 1$代入③得$-1 + y = 1$，即$y = 2$.
所以原方组的解是$\begin{cases}x = - 1\\y = 2\end{cases}$.
以上解法的技巧是根据方程的特点构造了方程③，我们把这种解法称为构造法，请你用构造法解方程组$\begin{cases}7x + 11y = 9\\13x + 17y = 21\end{cases}$

答案： 解：$\begin{cases}7x + 11y = 9,① \\13x + 17y = 21,②\end{cases}$
$② - ①$，得$6x + 6y = 12$，即$x + y = 2$，③
$③\times7$，得$7x + 7y = 14$，④
$① - ④$，得$y = - \frac{5}{4}$，
把$y = - \frac{5}{4}$代入③，得$x = \frac{13}{4}$.
$\therefore$原方程组的解为$\begin{cases}x=\frac{13}{4}, \\y = - \frac{5}{4}.\end{cases}$