《2025年1加1轻巧夺冠优化训练七年级数学下册人教版银版》

1 解方程组$\begin{cases}\frac{5}{x}-\frac{6}{y + 1}=1\\\frac{1}{x}+\frac{2}{y + 1}=1\end{cases}$时，可设$\frac{1}{x}=u$，$\frac{1}{y + 1}=v$，则原方程组可化成关于$u$，$v$的方程组为__________.

答案： $\begin{cases}5u - 6v = 1, \\u + 2v = 1\end{cases}$

2 解方程组$\begin{cases}\frac{x + 1}{2}=\frac{y + 2}{3}=\frac{z + 3}{4}\\2x + 3y - z = 13\end{cases}$

答案： 解：设$\frac{x + 1}{2}=\frac{y + 2}{3}=\frac{z + 3}{4}=k$，
则$x = 2k - 1$，$y = 3k - 2$，$z = 4k - 3$.
把$x = 2k - 1$，$y = 3k - 2$，$z = 4k - 3$代入$2x + 3y - z = 13$中，
得$4k - 2 + 9k - 6 - 4k + 3 = 13$.
解得$k = 2$，所以$x = 3$，$y = 4$，$z = 5$.
所以这个方程组的解是$\begin{cases}x = 3, \\y = 4, \\z = 5.\end{cases}$

3 已知方程组$\begin{cases}2a - 3b = 13\\3a + 5b = 30.9\end{cases}$的解是$\begin{cases}a = 8.3\\b = 1.2\end{cases}$，则方程组$\begin{cases}2(x - 1)-3(y + 2)=13\\3(x - 1)+5(y + 2)=30.9\end{cases}$的解是__________.

答案： $\begin{cases}x = 9.3, \\y = - 0.8\end{cases}$

4 (2024·河北模拟)阅读下列材料，解答问题.
材料：解方程组$\begin{cases}5(x + y)-3(x - y)=2\\2(x + y)+4(x - y)=6\end{cases}$.若设$x + y = m$，$x - y = n$，则原方程组可变形为$\begin{cases}5m - 3n = 2\\2m + 4n = 6\end{cases}$，用加减消元法解得$\begin{cases}m = 1\\n = 1\end{cases}$，所以$\begin{cases}x + y = 1\\x - y = 1\end{cases}$，再解这个方程组得$\begin{cases}x = 1\\y = 0\end{cases}$.由此可以看出，在上述解方程组过程中，把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，我们把这种解方程组的方法叫换元法.
问题：请你用上述方法解方程组$\begin{cases}\frac{x + y}{2}=\frac{x - y}{3}\\2(x + y)-3x + 3y = 24\end{cases}$

答案： 解：设$x + y = A$，$x - y = B$，
将方程组变形可得$\begin{cases}\frac{A}{2}=\frac{B}{3}, \\2A - 3B = 24,\end{cases}$
整理得$\begin{cases}3A - 2B = 0,① \\2A - 3B = 24,②\end{cases}$
$①\times3 - ②\times2$得$5A = - 48$，
解得$A = - 9.6$.
把$A = - 9.6$代入①得$B = - 14.4$，
$\therefore\begin{cases}x + y = - 9.6, \\x - y = - 14.4,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = - 12, \\y = 2.4.\end{cases}$

5 (2024·自贡月考)阅读以下材料：
解方程组$\begin{cases}x - y - 1 = 0&①\\4(x - y)-y = 5&②\end{cases}$
解：由①得$x - y = 1$ ③，将③代入②得$4×1 - y = 5$，解得$y = - 1$，
把$y = - 1$代入①，解得$\begin{cases}x = 0\\y = - 1\end{cases}$.这种方法称为“整体代入法”.
请你用这种方法解方程组$\begin{cases}2x - y - 2 = 0&①\\\frac{6x - 3y + 4}{5}+2y = 12&②\end{cases}$

答案： 解：由①得$2x - y = 2$，③
将②变形得$\frac{3(2x - y)+4}{5}+2y = 12$，
将③代入变形后的式子，
得$\frac{3\times2 + 4}{5}+2y = 12$，解得$y = 5$.
将$y = 5$代入③得$x = 3.5$，
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 3.5, \\y = 5.\end{cases}$