《2025年1加1轻巧夺冠优化训练七年级数学下册人教版银版》

8 （2024·河北一模）甲、乙两人在解方程组$\begin{cases}3x - 2y = 5,①\\4x + 5y = 6,②\end{cases}$时有如下讨论. 甲：我要消掉x，所以①×（-4） + ②×3；乙：我要消掉y，所以①×（-5） - ②×2. 则下列判断正确的是（ ）
A. 甲、乙方法都可行
B. 甲、乙方法都不可行
C. 甲方法可行，乙方法不可行
D. 甲方法不可行，乙方法可行

答案： A

9 （2024·泌阳一模）已知二元一次方程组$\begin{cases}3x + y = 5,\\x + 3y = 1,\end{cases}$则$x - y$的值为（ ）
A. 2
B. 6
C. -2
D. -6

答案： A

10 若二元一次方程组$\begin{cases}x + y = 2,\\3x - 5y = 4\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = a,\\y = b,\end{cases}$则$a - b =$_______.

答案： $\frac{3}{2}$

11 定义一种新运算“☆”：$x☆y = ax + by$. 已知$3☆5 = 15$，$4☆7 = 28$，则$1☆1$的值为_______.

答案： -11

12 若二元一次方程组$\begin{cases}4x + y = k,\\3x - 2y = k - 2\end{cases}$的解$x$，$y$的值互为相反数，求$k$的值.

答案： 解：$\begin{cases}4x + y = k,①\\3x - 2y = k - 2.②\end{cases}$
①×2 + ②，得$11x = 3k - 2$，
解得$x = \frac{3k - 2}{11}$.
把$x = \frac{3k - 2}{11}$代入①，得$y = \frac{-k + 8}{11}$.
根据$x$与$y$互为相反数，
得$\frac{3k - 2}{11}+\frac{-k + 8}{11}=0$，
解得$k = -3$.

13 （2024·青原区二模）解方程组$\begin{cases}2x - 3y = 13,\\x + 6y = -16,\end{cases}$下面是两同学的解答过程：
小春：
解：将方程$x + 6y = -16$变形为$x = -6y - 16$，….
小冬：
解：将方程$2x - 3y = 13$两边同乘2，得到$4x - 6y = 26$，再与另一个方程相加，得到$5x = 10$，….
（1）小春的解法依据是_______，运用的方法是_______；小冬的解法依据是_______，运用的方法是_______.（填序号）
①等式的性质1；②等式的性质2；③加法的结合律；④代入消元法；⑤加减消元法.
（2）请选择你认为更简捷的解法，完成解答过程.

答案： 解：
(1)小春的解法依据是等式的性质 1，运用的方法是代入消元法；小东的解法依据是等式的性质 2，运用的方法是加减消元法；
故答案为①，④，②，⑤.
(2)将方程$2x - 3y = 13$两边同乘 2，
得到$4x - 6y = 26$，
再与另一个方程相加，
得$5x = 10$，
解得$x = 2$.
将$x = 2$代入方程$x + 6y = -16$，
得$y = -3$，
$\therefore$原方程组的解为$\begin{cases}x = 2\\y = -3\end{cases}$

14 当$a$，$b$都是实数，且满足$2a - b = 6$，就称点$P(a - 1,\frac{b}{2} + 1)$为“完美点”.
（1）判断点$A(2,3)$是否为“完美点”.
（2）已知关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}x + y = 6,\\x - y = 2m,\end{cases}$当$m$为何值时，以方程组的解为坐标的点$B(x,y)$是“完美点”？请说明理由.

答案： 解：
(1)由$a - 1 = 2$，可得$a = 3$，
由$\frac{b}{2}+1 = 3$，可得$b = 4$.
$\because 2a - b\neq6$，$\therefore$点$A(2,3)$不是“完美点”.
(2)当$m = \frac{1}{2}$时，以方程组的解为坐标的点$B(x,y)$是“完美点”. 理由如下：
$\because\begin{cases}x + y = 6\\x - y = 2m\end{cases}$，$\therefore\begin{cases}x = 3 + m\\y = 3 - m\end{cases}$.
由$3 + m = a - 1$，可得$a = m + 4$.
由$3 - m = \frac{b}{2}+1$，可得$b = 4 - 2m$.
$\because 2a - b = 6$，$\therefore 2m + 8 - 4 + 2m = 6$.
$\therefore m = \frac{1}{2}$.
$\therefore$当$m = \frac{1}{2}$时，以方程组的解为坐标的点$B(x,y)$是“完美点”.