《2025年1加1轻巧夺冠优化训练七年级数学下册人教版银版》

1 (2024·扬州模拟)已知$a = \sqrt{5}$，$b = 2$，$c = \sqrt{3}$，则$a$，$b$，$c$的大小关系是（ ）
A. $b ＞ a ＞ c$
B. $a ＞ c ＞ b$
C. $a ＞ b ＞ c$
D. $b ＞ c ＞ a$

答案： C

2 (2024·安徽)我国古代数学家张衡将圆周率取值为$\sqrt{10}$，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为$\frac{22}{7}$. 比较大小：$\sqrt{10}$______$\frac{22}{7}$(填“＞”或“＜”).

答案： ＞

3 比较$\frac{7 - \sqrt{22}}{4}$与$\frac{1}{2}$的大小.

答案： 解：$\frac{7 - \sqrt{22}}{4} - \frac{1}{2} = \frac{7 - \sqrt{22} - 2}{4} = \frac{5 - \sqrt{22}}{4}$。
$\because 25＞22$，$\therefore 5 - \sqrt{22}＞0$。
$\therefore \frac{5 - \sqrt{22}}{4}＞0$。
$\therefore \frac{7 - \sqrt{22}}{4}＞\frac{1}{2}$。

4 课堂上，老师出了一道题：比较$\frac{\sqrt{19} - 2}{3}$与$\frac{2}{3}$的大小.
小明的解法如下：
解：$\frac{\sqrt{19} - 2}{3} - \frac{2}{3} = \frac{\sqrt{19} - 2 - 2}{3} = \frac{\sqrt{19} - 4}{3}$，
因为$4^{2} = 16 ＜ 19$，所以$\sqrt{19} ＞ 4$，
所以$\sqrt{19} - 4 ＞ 0$.
所以$\frac{\sqrt{19} - 4}{3} ＞ 0$，所以$\frac{\sqrt{19} - 2}{3} ＞ \frac{2}{3}$.
我们把这种比较大小的方法称为作差法.
(1)根据上述材料填空. (在横线上填“＞”“=”或“＜”)
①若$a - b ＞ 0$，则$a$______$b$；
②若$a - b = 0$，则$a$______$b$；
③若$a - b ＜ 0$，则$a$______$b$.
(2)利用上述方法比较$\frac{9 - \sqrt{22}}{4}$与$\frac{2}{3}$的大小.

答案： 解：
(1)①＞ ②= ③＜
(2)$\frac{9 - \sqrt{22}}{4} - \frac{2}{3} = \frac{27 - 3\sqrt{22} - 8}{12} = \frac{19 - 3\sqrt{22}}{12}=\frac{19 - \sqrt{198}}{12}$，
因为$19^{2}=361＞198$，所以$19＞\sqrt{198}$。
所以$19 - \sqrt{198}＞0$。
所以$\frac{19 - \sqrt{198}}{12}＞0$。
所以$\frac{9 - \sqrt{22}}{4}＞\frac{2}{3}$。

5 (1)比较$-\sqrt{5} + 1$与$-\frac{\sqrt{2}}{2}$的大小；
(2)比较$\sqrt{10} + 2$与$\sqrt{65} - 2$的大小；
(3)比较$\sqrt{7}$与$\sqrt[3]{29}$的大小.

答案： 解：
(1)$\because 2＜\sqrt{5}＜3$，
$\therefore -3＜-\sqrt{5}＜-2$。
$\therefore -2＜-\sqrt{5} + 1＜-1$。
$\because 1＜\sqrt{2}＜2$，
$\therefore -2＜-\sqrt{2}＜-1$。
$\therefore -1＜-\frac{\sqrt{2}}{2}＜-\frac{1}{2}$。
$\therefore -\sqrt{5} + 1＜-\frac{\sqrt{2}}{2}$。
(2)$\because 3＜\sqrt{10}＜4$，$8＜\sqrt{65}＜9$，
$\therefore 5＜\sqrt{10} + 2＜6$，$6＜\sqrt{65} - 2＜7$。
$\therefore \sqrt{10} + 2＜\sqrt{65} - 2$。
(3)$\because 2＜\sqrt{7}＜3$，$3＜\sqrt[3]{29}＜4$。
$\therefore \sqrt{7}＜\sqrt[3]{29}$。

6 已知$0 ＜ x ＜ 1$，则$x$，$\frac{1}{x}$，$x^{2}$，$\sqrt{x}$的大小关系为（ ）
A. $x ＜ \frac{1}{x} ＜ x^{2} ＜ \sqrt{x}$
B. $x ＜ x^{2} ＜ \sqrt{x} ＜ \frac{1}{x}$
C. $x^{2} ＜ x ＜ \sqrt{x} ＜ \frac{1}{x}$
D. $\sqrt{x} ＜ x ＜ x^{2} ＜ \frac{1}{x}$

答案： C