《2025年1加1轻巧夺冠优化训练七年级数学下册人教版银版》

12（2024·浏阳期末）下列各数中，没有平方根的是（ ）
A.2
B.$(-2)^{2}$
C.$-2^{2}$
D.$2^{3}$

答案： C

13 下列说法正确的是（ ）
A.$2\frac{1}{2}$是$4\frac{1}{4}$的平方根
B.0.2是0.4的平方根
C. - 2是 - 4的平方根
D.$\sqrt{2}$是$\sqrt{4}$的一个平方根

答案： D

14 如果一个自然数的平方根是$\pm a(a\geq0)$，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根为（ ）
A.$\pm(a + 1)$
B.$\pm a + 1$
C.$\pm\sqrt{a^{2}+1}$
D.$\pm\sqrt{a + 1}$

答案： C

15 若$3a - 22$和$2a - 3$是实数$m$的平方根，则$\sqrt{\frac{1}{m}}$的值为（ ）
A.$\frac{1}{7}$
B.$\frac{1}{5}$
C.$\frac{1}{35}$
D.$\frac{1}{19}$

答案： A

16（2024·上海期末）如果$a^{2}=(-3)^{2}$，那么$a$等于_______.

答案： $\pm3$

17（2024·文峰区期末）已知某正数的两个平方根分别是$m + 4$和$2m - 16$，则$m =$_______.

答案： 4

18 若$\frac{1}{2}x^{2}y^{7 - m}$与$x^{n - 1}y$是同类项，则$m + n$的平方根是_______.

答案： $\pm3$

19（2024·长沙期末）我们已经知道，如果一个数的平方等于$a$，那么这个数叫作$a$的平方根或二次方根.也就是说如果$x^{2}=a$，那么$x$叫作$a$的平方根.根据教材中的定义，解答下列问题.
（1）如果$x^{2}=2$，那么$x =$_______；（直接写出答案）
（2）如果$x$满足$2(x - 1)^{2}=4$，试求$x$的值，请写出必要的解答过程.

答案： 解：
(1)如果$x^{2}=2$，那么$x = \pm\sqrt{2}$.
　故答案为$\pm\sqrt{2}$.
(2)原方程整理得$(x - 1)^{2}=2$，则$x - 1 = \pm\sqrt{2}$，
　解得$x = 1+\sqrt{2}$或$x = 1-\sqrt{2}$. 

20 在学习了有关平方根的知识后，我们知道了负数没有平方根，但如果我们假设存在一个数$i$，使$i^{2}=-1$，那么$(-i)^{2}=i^{2}=-1$，因此 - 1就有两个平方根$i$和 - $i$.
进一步猜想：因为$(\pm2i)^{2}=(\pm2)^{2}i^{2}=-4$，所以 - 4的平方根是$\pm2i$；因为$(\pm3i)^{2}=(\pm3)^{2}i^{2}=-9$，所以 - 9的平方根是$\pm3i$.
请你根据以上信息，解答下列问题：
（1）求 - 16， - 25的平方根.
（2）求$i^{3}$，$i^{4}$，$i^{5}$，$i^{6}$，$i^{7}$，$i^{8}$，$\cdots$的值，你发现有什么规律？请将你发现的规律用式子表示出来.

答案： 解：
(1)因为$(\pm4\text{i})^{2}=(\pm4)^{2}\text{i}^{2}=-16$，
　所以 - 16的平方根是$\pm4\text{i}$.
　同理， - 25的平方根是$\pm5\text{i}$.
(2)$\text{i}^{3}=\text{i}^{2}\cdot\text{i}=(-1)\cdot\text{i}=-\text{i}$；
$\text{i}^{4}=\text{i}^{2}\cdot\text{i}^{2}=(-1)\times(-1)=1$；
$\text{i}^{5}=\text{i}^{4}\cdot\text{i}=1\cdot\text{i}=\text{i}$；
$\text{i}^{6}=\text{i}^{4}\cdot\text{i}^{2}=1\times(-1)=-1$；
$\text{i}^{7}=\text{i}^{4}\cdot\text{i}^{3}=1\times(-\text{i})=-\text{i}$；
$\text{i}^{8}=\text{i}^{4}\cdot\text{i}^{4}=1\times1=1$.
发现的规律：$\text{i}^{4n + 1}=\text{i}$，$\text{i}^{4n + 2}=-1$，$\text{i}^{4n + 3}=-\text{i}$，$\text{i}^{4n}=1$（$n$是自然数）.