《2025年1加1轻巧夺冠优化训练七年级数学下册人教版银版》

8 如图，点O是直线AB上的任意一点，OC，OD，OE是过点O的三条射线，若∠AOD = ∠COE = 90°，有下列说法：
①与∠AOC互为邻补角的角只有一个；
②与∠AOC互为补角的角只有一个；
③与∠AOC互为邻补角的角有两个；
④与∠AOC互为补角的角有两个.
其中正确的是（ ）

A. ②③
B. ①②
C. ③④
D. ①④

答案： D

9 如图，直线a，b相交，∠1：∠2 = 2：7，则∠3的度数是（ ）

A. 20°
B. 60°
C. 45°
D. 40°

答案： D

10 平面内两两相交的3条直线，其交点最少为m个，最多为n个，则m + n等于（ ）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 以上都不对

答案： A

11（2024·唐山三模）如图，直线a与直线b交于点A，此时图中有两对对顶角，若过点A再画一条不与直线a，b重合的直线c，则新增加的对顶角有（ ）

A. 2对
B. 3对
C. 4对
D. 5对

答案： C

12 如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE. 若∠AOC的度数为2α，则∠EOF = ________.（用含α的代数式表示）

答案： $90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$

13 如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠COF = 90°.
（1）若∠BOE = 70°，求∠AOF的度数；
（2）若∠BOD：∠BOE = 1：2，求∠AOF的度数.

答案： 解：
(1)
∵OE 平分∠BOC，∠BOE = 70°，
∴∠BOC = 2∠BOE = 140°.
∴∠AOC = 180° - 140° = 40°.
∵∠COF = 90°，
∴∠AOF = 90° - 40° = 50°.
(2)
∵OE 平分∠BOC，
∴∠COE = ∠BOE.
∵∠BOD : ∠BOE = 1 : 2，
∴∠BOD : ∠BOC = 1 : 4.
∴∠BOD = $\frac{1}{5}\times180^{\circ}=36^{\circ}$.
∴∠AOC = 36°.
∵∠COF = 90°，
∴∠AOF = 90° - 36° = 54°.

14 如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE.
（1）若∠AOC = 76°，求∠BOF的度数；
（2）若∠BOF = 36°，求∠AOC的度数；
（3）若|∠AOC - ∠BOF| = α，求∠AOC和∠BOF的度数.（用含α的代数式表示）

答案： 解：
(1)
∵∠BOD = ∠AOC = 76°，OE 平分∠BOD，
∴∠BOE = ∠DOE = $\frac{1}{2}$∠BOD = $\frac{1}{2}\times76^{\circ}=38^{\circ}$.
∴∠COE = 180° - ∠DOE = 180° - 38° = 142°.
∵OF 平分∠COE，
∴∠EOF = $\frac{1}{2}$∠COE = $\frac{1}{2}\times142^{\circ}=71^{\circ}$.
∴∠BOF = ∠EOF - ∠BOE = 71° - 38° = 33°.
(2)
∵OE 平分∠BOD，OF 平分∠COE，
∴∠BOE = ∠DOE，∠COF = ∠EOF.
设∠BOE = β，则∠DOE = β，
∴∠COA = ∠BOD = 2β，∠EOF = ∠COF = β + 36°.
∴∠AOC + ∠COF + ∠BOF = 2β + β + 36° + 36° = 180°. 解得β = 36°.
∴∠AOC = 72°.
(3)设∠BOE = $x^{\circ}$，则∠DOE = $x^{\circ}$，∠COA = ∠BOD = 2$x^{\circ}$，∠BOC = 180° - 2$x^{\circ}$，∠COF = ∠EOF = $x^{\circ}$ + ∠BOF.
∴∠BOF = ∠BOC - ∠COF = (180° - 2$x^{\circ}$) - ($x^{\circ}$ + ∠BOF)，化简得∠BOF = 90° - $\frac{3}{2}x^{\circ}$.
∵|∠AOC - ∠BOF| = α，
∴$\left|2x^{\circ}-\left(90^{\circ}-\frac{3}{2}x^{\circ}\right)\right|=\alpha$，
解得$x^{\circ}=\left(\frac{180}{7}\right)^{\circ}+\frac{2}{7}\alpha$或$x^{\circ}=\left(\frac{180}{7}\right)^{\circ}-\frac{2}{7}\alpha$.
当$x^{\circ}=\left(\frac{180}{7}\right)^{\circ}+\frac{2}{7}\alpha$时，∠AOC = 2$x^{\circ}=\left(\frac{360}{7}\right)^{\circ}+\frac{4}{7}\alpha$，
∠BOF = 90° - $\frac{3}{2}x^{\circ}=\left(\frac{360}{7}\right)^{\circ}-\frac{3}{7}\alpha$.
当$x^{\circ}=\left(\frac{180}{7}\right)^{\circ}-\frac{2}{7}\alpha$时，∠AOC = 2$x^{\circ}=\left(\frac{360}{7}\right)^{\circ}-\frac{4}{7}\alpha$，
∠BOF = 90° - $\frac{3}{2}x^{\circ}=\left(\frac{360}{7}\right)^{\circ}+\frac{3}{7}\alpha$.
综上所述，∠AOC = $\left(\frac{360}{7}\right)^{\circ}+\frac{4}{7}\alpha$，∠BOF = $\left(\frac{360}{7}\right)^{\circ}-\frac{3}{7}\alpha$或∠AOC = $\left(\frac{360}{7}\right)^{\circ}-\frac{4}{7}\alpha$，∠BOF = $\left(\frac{360}{7}\right)^{\circ}+\frac{3}{7}\alpha$.