《2025年金考卷特快专递高中数学》

1.若$z = 5 + \mathrm{i}$，则$\mathrm{i}(\overline{z}+z)=$
A. 10i
B. 2i
C. 10
D. 2

答案： 共轭复数的概念+复数的运算(数学应用) 因为$z = 5 + i$，所以$\overline{z}=5 - i$，所以$i(\overline{z}+z)=10i$，故选A.

2.已知集合$A = \{1,2,3,4,5,9\}$，$B = \{x|\sqrt{x} \in A\}$，则$\complement_{A}(A \cap B)=$
A. {1,4,9}
B. {3,4,9}
C. {1,2,3}
D. {2,3,5}

答案： 集合的运算(理性思维、数学应用、数学探索) $B = \{1,4,9,16,25,81\}$，$A\cap B = \{1,4,9\}$，则$\complement_{A}(A\cap B)=\{2,3,5\}$. 故选D.

3.(新教材不作要求)若$x$，$y$满足约束条件$\begin{cases}4x - 3y - 3 \geqslant 0 \\x - 2y - 2 \leqslant 0 \\2x + 6y - 9 \leqslant 0\end{cases}$，则$z = x - 5y$的最小值为
A. $\frac{1}{2}$
B. 0
C. $-\frac{5}{2}$
D. $-\frac{7}{2}$

答案： 线性规划(数学探索) 根据不等式组，画出可行域如图所示，作出直线$x - 5y = 0$并平移，则当平移后的直线过点A时，$z$取得最小值，由$\begin{cases}4x - 3y - 3 = 0\\2x + 6y - 9 = 0\end{cases}$，得$\begin{cases}x=\frac{3}{2}\\y = 1\end{cases}$，所以$A(\frac{3}{2},1)$，所以$z_{\min}=\frac{3}{2}-5\times1=-\frac{7}{2}$. 故选D.

4.记$S_{n}$为等差数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和，已知$S_{5} = S_{10}$，$a_{5} = 1$，则$a_{1}=$
A. $\frac{7}{2}$
B. $\frac{7}{3}$
C. $-\frac{1}{3}$
D. $-\frac{7}{11}$

答案： 等差数列的前$n$项和公式与性质(理性思维、数学应用、数学探索) 由$S_{5}=S_{10}$，得$\frac{5(a_{1}+a_{5})}{2}=\frac{10(a_{1}+a_{10})}{2}$，所以$5a_{3}=5(a_{3}+a_{8})$，所以$a_{8}=0$，公差$d=\frac{a_{8}-a_{5}}{8 - 5}=-\frac{1}{3}$，所以$a_{1}=a_{5}-4d=1 - 4\times(-\frac{1}{3})=\frac{7}{3}$，故选B.

5.已知双曲线的两个焦点分别为$(0,4)$，$(0,-4)$，点$(-6,4)$在该双曲线上，则该双曲线的离心率为
A. 4
B. 3
C. 2
D. $\sqrt{2}$

答案： 双曲线的方程与几何性质(理性思维、数学探索) 解法一(方程组法) 根据焦点坐标可知$c = 4$，根据焦点在$y$轴上，可设双曲线的方程为$\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)$，则$\begin{cases}\frac{16}{a^{2}}-\frac{36}{b^{2}}=1\\a^{2}+b^{2}=16\end{cases}$，得$\begin{cases}a = 2\\b = 2\sqrt{3}\end{cases}$，所以离心率$e=\frac{c}{a}=2$.
解法二(定义法) 根据双曲线的定义，得$2a =|\sqrt{(-6 - 0)^{2}+(4 - 4)^{2}}-\sqrt{(-6 - 0)^{2}+(4 + 4)^{2}}|=|6 - 10| = 4$，根据焦点坐标可知$c = 4$，所以离心率$e=\frac{2c}{2a}=\frac{8}{4}=2$.
考情速递：强调对思维能力的考查，助力拔尖创新人才选拔 本题通过应用双曲线的定义和性质，可以避免较为复杂的坐标计算，从而减少计算量，节省考试时间.

6.设函数$f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}+2\sin x}{1 + x^{2}}$，则曲线$y = f(x)$在点$(0,1)$处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为
A. $\frac{1}{6}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{2}{3}$

答案： 导数的几何意义(理性思维、数学应用) $f^{\prime}(x)=\frac{(e^{x}+2\cos x)(1 + x^{2})-(e^{x}+2\sin x)\cdot2x}{(1 + x^{2})^{2}}$，所以$f^{\prime}(0)=3$，所以曲线$y = f(x)$在点$(0,1)$处的切线方程为$y - 1 = 3(x - 0)$，即$3x - y+1 = 0$，切线与两坐标轴的交点分别为$(0,1),(-\frac{1}{3},0)$，所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为$\frac{1}{2}\times1\times\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$，故选A.

7.函数$f(x)= - x^{2}+(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x})\sin x$在区间$[-2.8,2.8]$的图象大致为
　

答案： 函数图象的识别(理性思维、数学应用) 排除法 由题知函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，关于原点对称，$f(-x)=-(-x)^{2}+(e^{-x}-e^{x})\sin(-x)=-x^{2}+(e^{x}-e^{-x})\sin x = f(x)$，所以函数$f(x)$为偶函数，函数图象关于$y$轴对称，排除A，C；$f(1)=-1+(e-\frac{1}{e})\sin1\gt -1+(e-\frac{1}{e})\sin\frac{\pi}{6}=-1+\frac{e}{2}-\frac{1}{2e}\gt0$，排除D. 故选B.

8.已知$\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha - \sin\alpha}=\sqrt{3}$，则$\tan(\alpha+\frac{\pi}{4})=$
A. $2\sqrt{3}+1$
B. $2\sqrt{3}-1$
C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
D. $1 - \sqrt{3}$

答案： 三角恒等变换(数学应用、数学探索) 根据题意有$\frac{\cos\alpha-\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$1-\tan\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以$\tan\alpha=1-\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以$\tan(\alpha+\frac{\pi}{4})=\frac{\tan\alpha + 1}{1-\tan\alpha}=\frac{2-\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=2\sqrt{3}-1$，故选B.

9.设向量$\boldsymbol{a}=(x + 1,x)$，$\boldsymbol{b}=(x,2)$，则
A. $x = - 3$是$\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}$的必要条件
B. $x = - 3$是$\boldsymbol{a} // \boldsymbol{b}$的必要条件
C. $x = 0$是$\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}$的充分条件
D. $x = - 1+\sqrt{3}$是$\boldsymbol{a} // \boldsymbol{b}$的充分条件

答案： 平面向量的坐标运算+充分、必要条件的判断(理性思维、数学应用、数学探索) $\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}\Leftrightarrow x^{2}+x + 2x = 0\Leftrightarrow x = 0$或$x=-3$，所以$x=-3$是$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$的充分条件，$x = 0$是$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$的充分条件，故A错误，C正确. $\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}\Leftrightarrow2x + 2 = x^{2}\Leftrightarrow x^{2}-2x - 2 = 0\Leftrightarrow x = 1\pm\sqrt{3}$，故B，D错误.
考情速递：注重知识间的内在联系 试题将向量和常用逻辑用语结合，通过向量的垂直、平行的判定考查充要条件.

10. 设$\alpha,\beta$为两个平面，$m,n$为两条直线，且$\alpha\cap\beta = m$，下述四个命题：
①若$m// n$，则$n//\alpha$或$n//\beta$
②若$m\perp n$，则$n\perp\alpha$或$n\perp\beta$
③若$n//\alpha$且$n//\beta$，则$m// n$
④若$n$与$\alpha,\beta$所成的角相等，则$m\perp n$
其中所有真命题的编号是
A. ①③
B. ②④
C. ①②③
D. ①③④

答案： 10.A 空间线面位置关系的判断(理性思维、数学探索) $\alpha\cap\beta = m$,则$m\subset\alpha,m\subset\beta$,对于①,若$m// n$,则$n//\alpha$或$n//\beta$,①正确;对于②,若$m\perp n$,则可能$n//\alpha$或$n$与$\alpha$相交,②错误;对于③,若$n//\alpha$且$n//\beta$,则$n// m$,③正确;对于④,$n$与$m$所成角可以为$[0,\frac{\pi}{2}]$内的任意角,④错误. 故选 A.

11. 在$\triangle ABC$中，内角$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$，若$B = \frac{\pi}{3},b^{2} = \frac{9}{4}ac$，则$\sin A + \sin C =$
A. $\frac{2\sqrt{39}}{13}$
B. $\frac{\sqrt{39}}{13}$
C. $\frac{\sqrt{7}}{2}$
D. $\frac{3\sqrt{13}}{13}$

答案： 11.C 正、余弦定理在解三角形中的应用(理性思维、数学探索) 由正弦定理得$\frac{9}{4}\sin A\sin C = \sin^{2}B$,因为$B = \frac{\pi}{3}$,所以$\sin A\sin C = \frac{4}{9}\sin^{2}B = \frac{1}{3}$. 由余弦定理得$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2ac\cdot\cos B = a^{2} + c^{2} - ac = \frac{9}{4}ac$,所以$a^{2} + c^{2} = \frac{13}{4}ac$,所以$\sin^{2}A + \sin^{2}C = \frac{13}{4}\sin A\sin C$,所以$(\sin A + \sin C)^{2} = \sin^{2}A + \sin^{2}C + 2\sin A\sin C = \frac{21}{4}\sin A\sin C = \frac{7}{4}$,又$\sin A＞0,\sin C＞0$,所以$\sin A + \sin C = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

12. 已知$b$是$a,c$的等差中项，直线$ax + by + c = 0$与圆$x^{2} + y^{2} + 4y - 1 = 0$交于$A,B$两点，则$\vert AB\vert$的最小值为
A. 1
B. 2
C. 4
D. $2\sqrt{5}$

答案： 12.C 直线与圆的位置关系+等差中项(理性思维、数学应用、数学探索) 根据题意有$2b = a + c$,即$a - 2b + c = 0$,所以直线$ax + by + c = 0$过点$M(1,-2)$. 设圆$x^{2} + y^{2} + 4y - 1 = 0$的圆心为$C$,连接$CM$,则$AB\perp CM$时,$|AB|$最小,将圆的方程化为$x^{2} + (y + 2)^{2} = 5$,则$C(0,-2)$,所以$|MC| = 1$,所以$|AB|$的最小值为$2\sqrt{5 - |MC|^{2}} = 4$,故选 C.
解后反思 本题的求解关键是根据$b$是$a,c$的等差中项,得到$a - 2b + c = 0$,进而得直线$ax + by + c = 0$过定点.