《2025年金考卷特快专递高中数学》

18.（17分）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成. 比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中1次，则该队进入第二阶段. 第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.
某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为$p$，乙每次投中的概率为$q$，各次投中与否相互独立.
(1)若$p = 0.4$，$q = 0.5$，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率.
(2)假设$0 ＜ p ＜ q$.
(i)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
(ii)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

答案： 解:
(1)第1步:计算甲、乙所在队进入第二阶段的概率
设A1 = “甲、乙所在队进入第二阶段”,则P(A1)=$1 - (1 - 0.4)^3$ = 0.784. (1分)
第2步:计算乙在第二阶段至少得5分的概率
设A2 = “乙在第二阶段至少得5分”,则P(A2)=$1 - (1 - 0.5)^3$ = 0.875. (2分)
第3步:计算甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率
设A3 = “甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分”,则P(A3)=P(A1)·P(A2)=0.686. (4分)
(2)(i)第1步:计算甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率
设甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率为P甲,
则$P甲=[1 - (1 - p)^3]·q^3 = pq^3·(3 - 3p + p^2)$. (5分)
第2步:计算乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率
设乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率为P乙,
则P乙=$[1 - (1 - q)^3]·p^3 = qp^3·(3 - 3q + q^2)$. (6分)
第3步:比较P甲与P乙的大小
则P甲 - P乙 =$ pq(3q^2 - 3pq^2 + p^2q^2 - 3p^2 + 3p^2q - p^2q^2)=3pq(q - p)·(p + q - pq)$, (8分)
由0＜p＜q≤1,得q - p＞0,p + q - pq = p + q(1 - p)＞0,
所以P甲 - P乙＞0,即P甲＞P乙. (9分)
第4步:做决策
故应该由甲参加第一阶段比赛. (10分)
(ii)第1步:计算甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望
若甲参加第一阶段比赛,则甲、乙所在队的比赛成绩X的所有可能取值为0,5,10,15. (11分)
$P(X = 0)=(1 - p)^3 + [1 - (1 - p)^3]·(1 - q)^3$,
$P(X = 5)=[1 - (1 - p)^3]·C3^1·q·(1 - q)^2$,
$P(X = 10)=[1 - (1 - p)^3]·C3^2·q^2·(1 - q)$,
$P(X = 15)=[1 - (1 - p)^3]·C3^3q^3$,
所以E(X)=$[1 - (1 - p)^3]·[15q(1 - q)^2 + 30q^2(1 - q) + 15q^3]=[1 - (1 - p)^3]·15q = 15pq(p^2 - 3p + 3)$. (13分)
第2步:计算乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望
若乙参加第一阶段比赛,则甲、乙所在队的比赛成绩Y的所有可能取值为0,5,10,15.
同理,可得$E(Y)=15pq(q^2 - 3q + 3)$. (14分)
第3步:比较E(X)与E(Y)的大小
E(X) - E(Y)=$15pq(p^2 - 3p - q^2 + 3q)=15pq·(q - p)·(3 - p - q)$, (15分)
由0＜p＜q≤1,得q - p＞0,3 - p - q = 3 - (p + q)＞0,
所以E(X) - E(Y)＞0,即E(X)＞E(Y). (16分)
第4步:做决策
故应该由甲参加第一阶段比赛. (17分)
考情速递 聚焦主干知识,考查核心素养 本题以相互独立事件的概率、离散型随机变量的分布列为工具,考查分类讨论思想和推理论证能力,使思维能力强的学生能够展示素养、发挥潜力、脱颖而出,发挥高考的选拔功能,引导数学教学关注学生核心素养的培养.

19.（17分）已知双曲线$C:x^{2}-y^{2}=m(m ＞ 0)$，点$P_{1}(5,4)$在$C$上，$k$为常数，$0 ＜ k ＜ 1$. 按照如下方式依次构造点$P_{n}(n = 2,3,\cdots)$：过$P_{n - 1}$作斜率为$k$的直线与$C$的左支交于点$Q_{n - 1}$，令$P_{n}$为$Q_{n - 1}$关于$y$轴的对称点. 记$P_{n}$的坐标为$(x_{n},y_{n})$.
(1)若$k=\frac{1}{2}$，求$x_{2}$，$y_{2}$.
(2)证明：数列$\{x_{n}-y_{n}\}$是公比为$\frac{1 + k}{1 - k}$的等比数列.
(3)设$S_{n}$为$\triangle P_{n}P_{n + 1}P_{n + 2}$的面积. 证明：对任意正整数$n$，$S_{n}=S_{n + 1}$.

答案： 解:将点P1(5,4)的坐标代入C的方程得5^2 - 4^2 = m,解得m = 9,所以C:x^2 - y^2 = 9.
(1)过点P1(5,4)且斜率k = 1/2的直线方程为y = 1/2(x - 5)+4,
与C的方程联立,消去y化简可得x^2 - 2x - 15 = 0,即(x - 5)(x + 3)=0, (2分)
所以点Q1的横坐标为 - 3,将x = - 3代入直线方程,得y = 0,
因此Q1(-3,0),从而P2(3,0),
即x2 = 3,y2 = 0. (4分)
(2)解法一 由题意,Pn(xn,yn),Pn + 1(xn + 1,yn + 1),Qn(-xn + 1,yn + 1).
设过点Pn(xn,yn)且斜率为k的直线为ln:y = k(x - xn)+yn,
将ln的方程与C的方程联立,消去y化简可得(1 - k^2)x^2 + (2k^2xn - 2kyn)x - (kxn - yn)^2 - 9 = 0, (6分)
由根与系数的关系得 - xn + 1 + xn = -(2k^2xn - 2kyn)/(1 - k^2),
所以xn + 1=(2k^2xn - 2kyn)/(1 - k^2)+xn=(k^2xn + xn - 2kyn)/(1 - k^2). (7分)
又Qn(-xn + 1,yn + 1)在直线ln上,
所以yn + 1 = k(-xn + 1 - xn)+yn = - kxn + 1 - kxn + yn.
从而xn + 1 - yn + 1 = xn + 1 + kxn + 1 + kxn - yn=(1 + k)xn + 1 + kxn - yn=(1 + k)·(k^2xn + xn - 2kyn)/(1 - k^2)+kxn - yn=(1 + k)/(1 - k)·(xn - yn),
易知xn - yn≠0,所以数列{xn - yn}是公比为(1 + k)/(1 - k)的等比数列. (9分)
解法二 由题意,Pn(xn,yn),Pn + 1(xn + 1,yn + 1),Qn(-xn + 1,yn + 1).
由点Pn,Qn所在直线的斜率为k,可知k=(yn - yn + 1)/(xn + xn + 1).
又点Pn,Qn都在C上,所以{xn^2 - yn^2 = 9,xn + 1^2 - yn + 1^2 = 9},
即{(xn - yn)(xn + yn)=9,(xn + 1 - yn + 1)(xn + 1 + yn + 1)=9}, (6分)
易知xn - yn≠0,
则(1 + k)/(1 - k)=(1 + (yn - yn + 1)/(xn + xn + 1))/(1 - (yn - yn + 1)/(xn + xn + 1))=(xn + xn + 1 + yn - yn + 1)/(xn + xn + 1 - yn + yn + 1)=(xn + 1 - yn + 1 + 9/(xn - yn))/(xn - yn + 9/(xn + 1 - yn + 1))=(1/(xn - yn))[(xn + 1 - yn + 1)(xn - yn)+9]/(1/(xn + 1 - yn + 1))[(xn - yn)(xn + 1 - yn + 1)+9]=(xn + 1 - yn + 1)/(xn - yn),
即数列{xn - yn}是公比为(1 + k)/(1 - k)的等比数列. (9分)
(3)解法一 由
(2)知,数列{xn - yn}是首项为x1 - y1 = 5 - 4 = 1,公比为(1 + k)/(1 - k)的等比数列.
令t=(1 + k)/(1 - k),由0＜k＜1可知t＞1,则xn - yn = t^(n - 1), (10分)
又xn^2 - yn^2 = 9,所以xn + yn = 9/(xn - yn)=9/t^(n - 1),
可得xn=(9 + t^(2n - 2))/(2t^(n - 1)),yn=(9 - t^(2n - 2))/(2t^(n - 1)).
所以Pn((9 + t^(2n - 2))/(2t^(n - 1)),(9 - t^(2n - 2))/(2t^(n - 1))),Pn + 1((9 + t^(2n))/(2t^n),(9 - t^(2n))/(2t^n)),Pn + 2((9 + t^(2n + 2))/(2t^(n + 1)),(9 - t^(2n + 2))/(2t^(n + 1))). (12分)
所以直线PnPn + 1的方程为x - xn=(xn + 1 - xn)/(yn + 1 - yn)(y - yn),即(9 + t^(2n - 1))x - (9 - t^(2n - 1))y - 9t^(n - 1)(1 + t)=0. (14分)
易知点Pn + 2到直线PnPn + 1的距离
d = |(9 + t^(2n - 1))·(9 + t^(2n + 2))/(2t^(n + 1))-(9 - t^(2n - 1))·(9 - t^(2n + 2))/(2t^(n + 1))-9t^(n - 1)(1 + t)|/√((9 + t^(2n - 1))^2 + (9 - t^(2n - 1))^2)=|9t^(n - 2)(t - 1)^2(t + 1)|/√((9 + t^(2n - 1))^2 + (9 - t^(2n - 1))^2).
又|PnPn + 1| = √(((9 + t^(2n))/(2t^n)-(9 + t^(2n - 2))/(2t^(n - 1)))^2+((9 - t^(2n))/(2t^n)-(9 - t^(2n - 2))/(2t^(n - 1)))^2)=√((t - 1)^2[(9 - t^(2n - 1))^2 + (9 + t^(2n - 1))^2])/(2t^n), (16分)
则Sn = 1/2·|PnPn + 1|·d=(9(t - 1)^3(t + 1))/(4t^2)=36k^3/((1 - k^2)^2),即Sn为定值,所以Sn = Sn + 1. (17分)
解法二 由
(2)知,数列{xn - yn}是首项为x1 - y1 = 5 - 4 = 1,公比为(1 + k)/(1 - k)的等比数列.
令t=(1 + k)/(1 - k),由0＜k＜1可知t＞1,则xn - yn = t^(n - 1), (10分)
又xn^2 - yn^2 = 9,所以xn + yn = 9/(xn - yn)=9/t^(n - 1),
可得xn=(9 + t^(2n - 2))/(2t^(n - 1)),yn=(9 - t^(2n - 2))/(2t^(n - 1)).
所以Pn((9 + t^(2n - 2))/(2t^(n - 1)),(9 - t^(2n - 2))/(2t^(n - 1))),Pn + 1((9 + t^(2n))/(2t^n),(9 - t^(2n))/(2t^n)),Pn + 2((9 + t^(2n + 2))/(2t^(n + 1)),(9 - t^(2n + 2))/(2t^(n + 1))),Pn + 3((9 + t^(2n + 4))/(2t^(n + 2)),(9 - t^(2n + 4))/(2t^(n + 2))). (12分)
所以(xn + 3 - xn)/(yn + 3 - yn)=((9 + t^(2n + 4))/(2t^(n + 2))-(9 + t^(2n - 2))/(2t^(n - 1)))/((9 - t^(2n + 4))/(2t^(n + 2))-(9 - t^(2n - 2))/(2t^(n - 1)))=(9 - t^(2n + 1))/(9 + t^(2n + 1)),
(xn + 2 - xn + 1)/(yn + 2 - yn + 1)=((9 + t^(2n + 2))/(2t^(n + 1))-(9 + t^(2n))/(2t^n))/((9 - t^(2n + 2))/(2t^(n + 1))-(9 - t^(2n))/(2t^n))=(9 - t^(2n + 1))/(9 + t^(2n + 1)),
即(xn + 2 - xn + 1)/(yn + 2 - yn + 1)=(xn + 3 - xn)/(yn + 3 - yn),所以PnPn + 3//Pn + 1Pn + 2,
所以点Pn和点Pn + 3到直线Pn + 1Pn + 2的距离相等, (16分)
因此△PnPn + 1Pn + 2和△Pn + 1Pn + 2Pn + 3的面积相等,即Sn = Sn + 1. (17分)
考情速递 解答题加强考查基本能力,提升压轴题思维量 本题分层设问,环环相扣,三问都可以通过基本方法简化计算过程;第
(2)问利用固定斜率的直线与双曲线交点的性质可以迅速得出结论;第
(3)问证明面积相等时,可以将问题转化为证明两条直线平行.试题充分体现了“多想少算”的设计理念,引导中学教学充分重视思维能力、探究能力和解决问题能力的培养.
解法对比
第
(2)问 解法一：对学生的要求是熟练运用根与系数的关系，方法是联立方程，评价是常规，用时中等；解法二：对学生的要求是理解点差法并能灵活变形、应用，方法是点差法，评价是创新，用时较短。
第
(3)问 解法一：对学生的要求是熟练运用两点间的距离公式及点到直线的距离公式，方法是利用三角形面积公式求解，评价是常规，用时非常长；解法二：对学生的要求是数形结合，理解面积相等的几何意义，方法是判断两直线平行，评价是创新，用时较短。