《2025年金考卷特快专递高中数学》

16.（15分）已知函数$f(x)=e^{x}-ax - a^{3}$.
(1)当$a = 1$时，求曲线$y = f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线方程；
(2)若$f(x)$有极小值，且极小值小于0，求$a$的取值范围.

答案： 解:
(1)第1步:求当a = 1时函数的解析式与导函数
当a = 1时,f(x)=$e^x - x - 1$,则f'(x)=$e^x - 1$, (1分)
第2步:求切线的斜率与切点坐标
则f'
(1)=e - 1. (2分)
f
(1)=e - 2,所以切点坐标为(1,e - 2),(提示:求曲线的切线方程时注意条件是“过点”还是“在点”) (3分)
第3步:求切线方程
所以切线方程为y - (e - 2)=(e - 1)(x - 1),即(e - 1)x - y - 1 = 0. (5分)
(2)第1步:求导
易知函数f(x)的定义域为R,f'(x)=$e^x - a$.(提示:f'(x)的符号与a的取值有关) (6分)
第2步:讨论函数的单调性,求出极小值
当a≤0时,f'(x)＞0,函数f(x)在R上单调递增,无极值; (7分)
当a＞0时,由f'(x)＞0,得x＞ln a,由f'(x)＜0,得x＜ln a,
所以函数f(x)在区间(-∞,ln a)上单调递减,在区间(ln a,+∞)上单调递增,所以f(x)的极小值为f(ln a)=a - a ln a - a^3.(题眼) (9分)
第3步:根据极小值小于0求a的取值范围
由题意知a - a ln a - a^3＜0(a＞0),等价于1 - ln a - a^2＜0(a＞0). (10分)
解法一(导数法) 令g(a)=1 - ln a - a^2(a＞0),
则g'(a)=1 - 1/a - 2a=($-2a^2$ + a - 1)/a=- (2$(a - 1/4)^2$ + 7/8)/a＜0,(提示:通过配方法判断符号) (12分)
所以函数g(a)在(0,+∞)上单调递减, (13分)
又g
(1)=0,故当0＜a＜1时,g(a)＞0;当a＞1时,g(a)＜0.
故实数a的取值范围为(1,+∞). (15分)

17.（15分）如图，平面四边形$ABCD$中，$AB = 8$，$CD = 3$，$AD = 5\sqrt{3}$，$\angle ADC = 90^{\circ}$，$\angle BAD = 30^{\circ}$，点$E$，$F$满足$\overrightarrow{AE}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$. 将$\triangle AEF$沿$EF$翻折至$\triangle PEF$，使得$PC = 4\sqrt{3}$.
(1)证明：$EF\perp PD$；
(2)求平面$PCD$与平面$PBF$所成的二面角的正弦值.

答案：
解:
(1)第1步:证明EF⊥AE
由题,AE = 2/5AD = 2√3,AF = 1/2AB = 4,又∠BAD = 30°,所以由余弦定理得$EF^2 = AE^2 + AF^2 - 2AE·AF·cos 30° = 4$,故EF = 2.
又$EF^2 + AE^2 = AF^2$,所以EF⊥AE. (3分)
第2步:证明EF⊥PD
由EF⊥AE及翻折的性质知EF⊥PE,EF⊥ED,
又ED∩PE = E,ED,PE⊂面PED,所以EF⊥面PED. (5分)
又PD⊂面PED,所以EF⊥PD. (6分)
(2)第1步:证明PE⊥面ABCD
如图,连接CE,由题,DE = 3√3,CD = 3,∠CDE = 90°,故CE = √($DE^2 + CD^2$)=6.
又PE = AE = 2√3,PC = 4√3,所以$PE^2 + CE^2 = PC^2$,故PE⊥CE.
又PE⊥EF,CE∩EF = E,CE,EF⊂面ABCD,所以PE⊥面ABCD. (8分)
第2步:建立空间直角坐标系,得到相关向量的坐标
EF,ED,PE两两垂直,故以E为原点,EF,ED,PE所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则P(0,0,2√3),D(0,3√3,0),F(2,0,0),A(0,-2√3,0),C(3,3√3,0),

连接PA,则PD→=(0,3√3,-2√3),DC→=(3,0,0),AP→=(0,2√3,2√3),AF→=(2,2√3,0). (10分)
第3步:求面PCD和面PBF的法向量
设面PCD的法向量为n1=(x1,y1,z1),
则{n1·PD→ = 3√3y1 - 2√3z1 = 0,n1·DC→ = 3x1 = 0},可取n1=(0,2,3). (11分)
设面PBF即面PAF的法向量为n2=(x2,y2,z2),
则{n2·AP→ = 2√3y2 + 2√3z2 = 0,n2·AF→ = 2x2 + 2√3y2 = 0},可取n2=(√3,-1,1). (12分)
第4步:求面PCD与面PBF所成二面角的余弦值的绝对值
|cos〈n1,n2〉| = |n1·n2|/(|n1|·|n2|)=1/√65. (14分)
第5步:利用同角三角函数的基本关系求得结果
故面PCD与面PBF所成二面角的正弦值为√(1 - 1/65)=8√65/65. (15分)