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2025年金考卷特快专递高中数学
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年金考卷特快专递高中数学 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
18. (本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
已知函数$f(x)=\frac{x^{2}+(3a + 1)x + c}{x + a}(a,c\in\mathbf{R})$.
(1)当$a = 0$时,是否存在$c$,使得$f(x)$为奇函数?
(2)若函数$f(x)$的图象过点$(1,3)$,且$f(x)$的图象与$x$轴负半轴有两个不同交点,求$c$的值及$a$的取值范围.
已知函数$f(x)=\frac{x^{2}+(3a + 1)x + c}{x + a}(a,c\in\mathbf{R})$.
(1)当$a = 0$时,是否存在$c$,使得$f(x)$为奇函数?
(2)若函数$f(x)$的图象过点$(1,3)$,且$f(x)$的图象与$x$轴负半轴有两个不同交点,求$c$的值及$a$的取值范围.
答案：
解:
(1)当a = 0时，f(x)=\frac{x² + x + c}{x}. (2分)
∴f
(1)=2 + c，f( - 1)= - c，
显然f
(1)≠ - f( - 1). (4分)
∴当a = 0时，f(x)不可能为奇函数，
∴当a = 0时，不存在c，使得f(x)为奇函数. (6分)
(2)由题意得f
(1)=\frac{1 + (3a + 1) + c}{1 + a}=3，
∴3a + c + 2 = 3a + 3，
∴c = 1. (8分)
∴f(x)=\frac{x² + (3a + 1)x + 1}{x + a}.
∵f(x)的图象与x轴负半轴有两个不同交点，
∴关于x的方程x² + (3a + 1)x + 1 = 0有两个不同负实数根x₁，x₂，且x₁≠ - a，x₂≠ - a. (10分)
$\begin{cases}x₁ + x₂ = - (3a + 1) ＜ 0 \\ a² - (3a + 1)a + 1≠0 \\ x₁x₂ = 1 ＞ 0 \\ \Delta=(3a + 1)² - 4 ＞ 0\end{cases}$，(易错警示：转化时应特别注意前后条件的等价性) (12分)
得a ＞ \frac{1}{3}且a≠\frac{1}{2}，
∴实数a的取值范围为(\frac{1}{3},\frac{1}{2})∪(\frac{1}{2}, + ∞). (14分)
命题分析 本题出题意图是考查学生对函数奇偶性概念的理解以及对一元二次方程根的分布的掌握情况，需注意问题转化的等价性与合理性.考查理性思维学科素养.
(1)当a = 0时，f(x)=\frac{x² + x + c}{x}. (2分)
∴f
(1)=2 + c，f( - 1)= - c，
显然f
(1)≠ - f( - 1). (4分)
∴当a = 0时，f(x)不可能为奇函数，
∴当a = 0时，不存在c，使得f(x)为奇函数. (6分)
(2)由题意得f
(1)=\frac{1 + (3a + 1) + c}{1 + a}=3，
∴3a + c + 2 = 3a + 3，
∴c = 1. (8分)
∴f(x)=\frac{x² + (3a + 1)x + 1}{x + a}.
∵f(x)的图象与x轴负半轴有两个不同交点，
∴关于x的方程x² + (3a + 1)x + 1 = 0有两个不同负实数根x₁，x₂，且x₁≠ - a，x₂≠ - a. (10分)
$\begin{cases}x₁ + x₂ = - (3a + 1) ＜ 0 \\ a² - (3a + 1)a + 1≠0 \\ x₁x₂ = 1 ＞ 0 \\ \Delta=(3a + 1)² - 4 ＞ 0\end{cases}$，(易错警示：转化时应特别注意前后条件的等价性) (12分)
得a ＞ \frac{1}{3}且a≠\frac{1}{2}，
∴实数a的取值范围为(\frac{1}{3},\frac{1}{2})∪(\frac{1}{2}, + ∞). (14分)
命题分析 本题出题意图是考查学生对函数奇偶性概念的理解以及对一元二次方程根的分布的掌握情况，需注意问题转化的等价性与合理性.考查理性思维学科素养.
19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分;
21世纪汽车博览会在上海举行.某汽车模型公司共有25个汽车模型,其外观与内饰的颜色分布如表所示:
现将这25个汽车模型进行编号.
(1)若小明从25个汽车模型编号中随机选取一个,记事件A为小明取到的模型为红色外观，事件B为小明取到的模型为米色内饰,求P(B)和P(B|A),并据此判断事件A和事件B 是否独立.
(2)该公司举行了一个抽奖活动,规定在一次抽奖中,每人一次性从25个汽车模型编号中选取两个,给出以下抽奖规则:①选到的两个模型会出现三种结果,即外观和内饰均同色、外观和内饰都异色以及仅外观或仅内饰同色;②按结果的可能性大小设置奖项,概率越小奖项越高;③该抽奖活动的奖金金额为一等奖600元、二等奖300元、三等奖150元.请你分析奖项对应的结果,设X为奖金金额,写出X的分布列,并求出X的数学期望.
21世纪汽车博览会在上海举行.某汽车模型公司共有25个汽车模型,其外观与内饰的颜色分布如表所示:
现将这25个汽车模型进行编号.
(1)若小明从25个汽车模型编号中随机选取一个,记事件A为小明取到的模型为红色外观，事件B为小明取到的模型为米色内饰,求P(B)和P(B|A),并据此判断事件A和事件B 是否独立.
(2)该公司举行了一个抽奖活动,规定在一次抽奖中,每人一次性从25个汽车模型编号中选取两个,给出以下抽奖规则:①选到的两个模型会出现三种结果,即外观和内饰均同色、外观和内饰都异色以及仅外观或仅内饰同色;②按结果的可能性大小设置奖项,概率越小奖项越高;③该抽奖活动的奖金金额为一等奖600元、二等奖300元、三等奖150元.请你分析奖项对应的结果,设X为奖金金额,写出X的分布列,并求出X的数学期望.
答案：
19.相互独立事件+随机变量的分布列、数学期望
解:
(1)由题意得，$P(B)=\frac{2 + 3}{25}=\frac{1}{5}$ (2分)
$P(A)=\frac{8 + 2}{25}=\frac{2}{5}$，$P(AB)=\frac{2}{25}$
则$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{\frac{2}{25}}{\frac{2}{5}}=\frac{1}{5}$ (4分)
$\because P(AB)=P(A)\cdot P(B)$，$\therefore$事件$A$和事件$B$独立. (6分)
(2)记外观与内饰均同色为事件$A_1$，外观与内饰都异色为事件$A_2$，仅外观或仅内饰同色为事件$A_3$
则$P(A_1)=\frac{C_{8}^{2}+C_{12}^{2}+C_{2}^{2}+C_{3}^{2}}{C_{25}^{2}}=\frac{98}{300}=\frac{49}{150}$ (7分)
$P(A_2)=\frac{C_{8}^{1}C_{3}^{1}+C_{2}^{1}C_{12}^{1}}{C_{25}^{2}}=\frac{48}{300}=\frac{4}{25}$ (8分)
$P(A_3)=\frac{C_{8}^{1}C_{2}^{1}+C_{12}^{1}C_{3}^{1}+C_{8}^{1}C_{12}^{1}+C_{2}^{1}C_{3}^{1}}{C_{25}^{2}}=\frac{154}{300}=\frac{77}{150}$ (9分)
$\because P(A_2)＜P(A_1)＜P(A_3)$
$\therefore$一等奖为两个汽车模型的外观与内饰都异色，二等奖为两个汽车模型的外观与内饰均同色，三等奖为两个汽车模型仅外观或内饰同色. (10分)
$X$的分布列如表:
$X$ 150 300 600
$P$ $\frac{77}{150}$ $\frac{49}{150}$ $\frac{4}{25}$
(12分)
$E(X)=150\times\frac{77}{150}+300\times\frac{49}{150}+600\times\frac{4}{25}=271$. (14分)
解:
(1)由题意得，$P(B)=\frac{2 + 3}{25}=\frac{1}{5}$ (2分)
$P(A)=\frac{8 + 2}{25}=\frac{2}{5}$，$P(AB)=\frac{2}{25}$
则$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{\frac{2}{25}}{\frac{2}{5}}=\frac{1}{5}$ (4分)
$\because P(AB)=P(A)\cdot P(B)$，$\therefore$事件$A$和事件$B$独立. (6分)
(2)记外观与内饰均同色为事件$A_1$，外观与内饰都异色为事件$A_2$，仅外观或仅内饰同色为事件$A_3$
则$P(A_1)=\frac{C_{8}^{2}+C_{12}^{2}+C_{2}^{2}+C_{3}^{2}}{C_{25}^{2}}=\frac{98}{300}=\frac{49}{150}$ (7分)
$P(A_2)=\frac{C_{8}^{1}C_{3}^{1}+C_{2}^{1}C_{12}^{1}}{C_{25}^{2}}=\frac{48}{300}=\frac{4}{25}$ (8分)
$P(A_3)=\frac{C_{8}^{1}C_{2}^{1}+C_{12}^{1}C_{3}^{1}+C_{8}^{1}C_{12}^{1}+C_{2}^{1}C_{3}^{1}}{C_{25}^{2}}=\frac{154}{300}=\frac{77}{150}$ (9分)
$\because P(A_2)＜P(A_1)＜P(A_3)$
$\therefore$一等奖为两个汽车模型的外观与内饰都异色，二等奖为两个汽车模型的外观与内饰均同色，三等奖为两个汽车模型仅外观或内饰同色. (10分)
$X$的分布列如表:
$X$ 150 300 600
$P$ $\frac{77}{150}$ $\frac{49}{150}$ $\frac{4}{25}$
(12分)
$E(X)=150\times\frac{77}{150}+300\times\frac{49}{150}+600\times\frac{4}{25}=271$. (14分)
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