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2025年金考卷特快专递高中数学
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年金考卷特快专递高中数学 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
17. (利用反三角函数表示角的大小,非上海地区不作要求)(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
如图,直四棱柱$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中,$AB// DC$,$AB\perp AD$,$AB = 2$,$AD = 3$,$DC = 4$.
(1)求证:$A_{1}B//$平面$DCC_{1}D_{1}$;
(2)若直四棱柱$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的体积为36,求二面角$A_{1} - BD - A$的大小.
如图,直四棱柱$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中,$AB// DC$,$AB\perp AD$,$AB = 2$,$AD = 3$,$DC = 4$.
(1)求证:$A_{1}B//$平面$DCC_{1}D_{1}$;
(2)若直四棱柱$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的体积为36,求二面角$A_{1} - BD - A$的大小.
答案：
解:
(1)解法一
∵AB//DC，AB⊄平面DCC₁D₁，CD⊂平面DCC₁D₁，
∴AB//平面DCC₁D₁. (1分)
∵AA₁//DD₁，AA₁⊄平面DCC₁D₁，DD₁⊂平面DCC₁D₁，
∴AA₁//平面DCC₁D₁. (2分)
又AB∩AA₁ = A，
∴平面ABB₁A₁//平面DCC₁D₁. (4分)
又A₁B⊂平面ABB₁A₁，
∴A₁B//平面DCC₁D₁. (6分)
解法二 如图a，取CD的中点E，连接BE，D₁E，
则DE = 2，
∵AB//DC，AB = 2，
∴AB//DE，
∴四边形ABED为平行四边形，
∴BE//AD. (2分)
又AD//A₁D₁，
∴BE//A₁D₁，
∴四边形A₁D₁EB为平行四边形，
∴A₁B//D₁E. (4分)
又D₁E⊂平面DCC₁D₁，A₁B⊄平面DCC₁D₁，
∴A₁B//平面DCC₁D₁. (6分)
(2)由题，S_{梯形ABCD}=\frac{1}{2}×(2 + 4)×3 = 9，
又直四棱柱ABCD - A₁B₁C₁D₁的体积为36，
∴9×AA₁ = 36，
∴AA₁ = 4. (8分)
解法一 如图b，过A作AH⊥BD于点H，连接A₁H.
∵AA₁⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴AA₁⊥BD.
又AH⊥BD，AA₁∩AH = A，
∴BD⊥平面AA₁H，
∴A₁H⊥BD.
∴∠A₁HA为二面角A₁ - BD - A的平面角. (11分)
在Rt△ABD中，AB⊥AD，AB = 2，AD = 3，可得AH=\frac{6}{\sqrt{13}}.
∴在Rt△A₁AH中，tan∠A₁HA=\frac{AA₁}{AH}=\frac{4}{\frac{6}{\sqrt{13}}}=\frac{2\sqrt{13}}{3}，
∴∠A₁HA = arctan\frac{2\sqrt{13}}{3}. (13分)
即二面角A₁ - BD - A的大小为arctan\frac{2\sqrt{13}}{3}. (14分)
解法二 由题，以D为坐标原点，分别以\overrightarrow{DA}，\overrightarrow{DC}，\overrightarrow{DD₁}的方向为x，y，z轴的正方向建立如图c所示的空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，B(3,2,0)，A₁(3,0,4)，
∴\overrightarrow{DB}=(3,2,0)，\overrightarrow{DA₁}=(3,0,4). (9分)
显然平面ABD的一个法向量为\boldsymbol{n}=(0,0,1). (10分)
设平面A₁BD的法向量为\boldsymbol{m}=(x,y,z)，
则$\begin{cases}3x + 2y = 0 \\ 3x + 4z = 0\end{cases}$，不妨取\boldsymbol{m}=(4, - 6, - 3). (11分)
设α为\boldsymbol{n}与\boldsymbol{m}的夹角，φ为二面角A₁ - BD - A的平面角，
由题意知φ为锐角，
则cosφ = |cosα|=\frac{3}{\sqrt{16 + 36 + 9}}=\frac{3\sqrt{61}}{61}，
因此φ = arccos\frac{3\sqrt{61}}{61}. (13分)
∴二面角A₁ - BD - A的大小为arccos\frac{3\sqrt{61}}{61}. (14分)
命题分析 本题出题意图是从证明和计算两方面考查学生对立体几何知识的掌握情况，其中几何法和建系法均可很好地解答本题，考查理性思维、数学探索学科素养.
解:
(1)解法一
∵AB//DC，AB⊄平面DCC₁D₁，CD⊂平面DCC₁D₁，
∴AB//平面DCC₁D₁. (1分)
∵AA₁//DD₁，AA₁⊄平面DCC₁D₁，DD₁⊂平面DCC₁D₁，
∴AA₁//平面DCC₁D₁. (2分)
又AB∩AA₁ = A，
∴平面ABB₁A₁//平面DCC₁D₁. (4分)
又A₁B⊂平面ABB₁A₁，
∴A₁B//平面DCC₁D₁. (6分)
解法二 如图a，取CD的中点E，连接BE，D₁E，
则DE = 2，
∵AB//DC，AB = 2，
∴AB//DE，
∴四边形ABED为平行四边形，
∴BE//AD. (2分)
又AD//A₁D₁，
∴BE//A₁D₁，
∴四边形A₁D₁EB为平行四边形，
∴A₁B//D₁E. (4分)
又D₁E⊂平面DCC₁D₁，A₁B⊄平面DCC₁D₁，
∴A₁B//平面DCC₁D₁. (6分)
(2)由题，S_{梯形ABCD}=\frac{1}{2}×(2 + 4)×3 = 9，
又直四棱柱ABCD - A₁B₁C₁D₁的体积为36，
∴9×AA₁ = 36，
∴AA₁ = 4. (8分)
解法一 如图b，过A作AH⊥BD于点H，连接A₁H.
∵AA₁⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴AA₁⊥BD.
又AH⊥BD，AA₁∩AH = A，
∴BD⊥平面AA₁H，
∴A₁H⊥BD.
∴∠A₁HA为二面角A₁ - BD - A的平面角. (11分)
在Rt△ABD中，AB⊥AD，AB = 2，AD = 3，可得AH=\frac{6}{\sqrt{13}}.
∴在Rt△A₁AH中，tan∠A₁HA=\frac{AA₁}{AH}=\frac{4}{\frac{6}{\sqrt{13}}}=\frac{2\sqrt{13}}{3}，
∴∠A₁HA = arctan\frac{2\sqrt{13}}{3}. (13分)
即二面角A₁ - BD - A的大小为arctan\frac{2\sqrt{13}}{3}. (14分)
解法二 由题，以D为坐标原点，分别以\overrightarrow{DA}，\overrightarrow{DC}，\overrightarrow{DD₁}的方向为x，y，z轴的正方向建立如图c所示的空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，B(3,2,0)，A₁(3,0,4)，
∴\overrightarrow{DB}=(3,2,0)，\overrightarrow{DA₁}=(3,0,4). (9分)
显然平面ABD的一个法向量为\boldsymbol{n}=(0,0,1). (10分)
设平面A₁BD的法向量为\boldsymbol{m}=(x,y,z)，
则$\begin{cases}3x + 2y = 0 \\ 3x + 4z = 0\end{cases}$，不妨取\boldsymbol{m}=(4, - 6, - 3). (11分)
设α为\boldsymbol{n}与\boldsymbol{m}的夹角，φ为二面角A₁ - BD - A的平面角，
由题意知φ为锐角，
则cosφ = |cosα|=\frac{3}{\sqrt{16 + 36 + 9}}=\frac{3\sqrt{61}}{61}，
因此φ = arccos\frac{3\sqrt{61}}{61}. (13分)
∴二面角A₁ - BD - A的大小为arccos\frac{3\sqrt{61}}{61}. (14分)
命题分析 本题出题意图是从证明和计算两方面考查学生对立体几何知识的掌握情况，其中几何法和建系法均可很好地解答本题，考查理性思维、数学探索学科素养.
15. 设a ＞ 0，函数y = sinx在区间[a,2a]上的最小值为s，在区间[2a,3a]上的最小值为t，当a变化时，下列不可能成立的是
A. s ＞ 0且t ＞ 0
B. s ＜ 0且t ＜ 0
C. s ＞ 0且t ＜ 0
D. s ＜ 0且t ＞ 0
A. s ＞ 0且t ＞ 0
B. s ＜ 0且t ＜ 0
C. s ＞ 0且t ＜ 0
D. s ＜ 0且t ＞ 0
答案：
D
16. 在平面上，若曲线Γ具有如下性质：存在点M，使得对于任意的点P ∈ Γ，都有Q ∈ Γ使得|PM|·|QM| = 1，则称这条曲线为“自相关曲线”. 下列两个命题的真假情况为
①所有椭圆都是“自相关曲线”.
②存在是“自相关曲线”的双曲线.
A. ①为假命题，②为真命题
B. ①为真命题，②为假命题
C. ①为真命题，②为真命题
D. ①为假命题，②为假命题
①所有椭圆都是“自相关曲线”.
②存在是“自相关曲线”的双曲线.
A. ①为假命题，②为真命题
B. ①为真命题，②为假命题
C. ①为真命题，②为真命题
D. ①为假命题，②为假命题
答案：
B
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤.
答案：
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