《2025年金考卷特快专递高中数学》

1. 已知$z = -1 - i$，则$|z| =$
A. 0
B. 1
C. $\sqrt{2}$
D. 2

答案： C

2. 已知命题$p:\forall x\in\mathbf{R},|x + 1|＞1$；命题$q:\exists x＞0,x^{3}=x$. 则
A. $p$和$q$都是真命题
B. $\neg p$和$q$都是真命题
C. $p$和$\neg q$都是真命题
D. $\neg p$和$\neg q$都是真命题

答案： B

3. 已知向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$满足$|\boldsymbol{a}| = 1,|\boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b}| = 2$，且$(\boldsymbol{b} - 2\boldsymbol{a})\perp\boldsymbol{b}$，则$|\boldsymbol{b}| =$
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
D. 1

答案： B

4. 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)
并整理得下表：

根据表中数据，下列结论中正确的是
A. 100块稻田亩产量的中位数小于1050 kg
B. 100块稻田中亩产量低于1100 kg的稻田所占比例超过80%
C. 100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间
D. 100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1000 kg之间

答案： C

5. 已知曲线$C:x^{2}+y^{2}=16(y ＞ 0)$，从$C$上任意一点$P$向$x$轴作垂线段$PP'$，$P'$为垂足，则线段$PP'$的中点$M$的轨迹方程为
A. $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1(y ＞ 0)$
B. $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{8}=1(y ＞ 0)$
C. $\frac{y^{2}}{16}+\frac{x^{2}}{4}=1(y ＞ 0)$
D. $\frac{y^{2}}{16}+\frac{x^{2}}{8}=1(y ＞ 0)$

答案： A

6. 设函数$f(x)=a(x + 1)^{2}-1,g(x)=\cos x + 2ax$. 当$x\in(-1,1)$时,曲线$y = f(x)$与$y = g(x)$恰有一个交点. 则$a=$
A. -1
B. $\frac{1}{2}$
C. 1
D. 2

答案： 6.D 函数的图象 + 函数的性质(理性思维、数学应用) 由题意知$f(x)=g(x)$，则$a(x + 1)^{2}-1=\cos x + 2ax$，即$\cos x=a(x^{2}+1)-1$。令$h(x)=\cos x - a(x^{2}+1)+1$。易知$h(x)$为偶函数，由题意知$h(x)$在$(-1,1)$上有唯一零点，所以$h(0)=0$，即$\cos 0 - a(0 + 1)+1 = 0$，得$a = 2$，故选 D。

7. 已知正三棱台$ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$的体积为$\frac{52}{3},AB = 6,A_{1}B_{1}=2$,则$A_{1}A$与平面$ABC$所成角的正切值为
A. $\frac{1}{2}$
B. 1
C. 2
D. 3

答案：
7.B 正三棱台的体积 + 线面角 补形法 设正三棱台$ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$的高为$h$，三条侧棱延长后交于一点$P$，作$PO\perp$平面$ABC$于点$O$，$PO$交平面$A_{1}B_{1}C_{1}$于点$O_{1}$，连接$OA$，$O_{1}A_{1}$，如图所示。由$AB = 3A_{1}B_{1}$，可得$PO_{1}=\frac{1}{2}h$，$PO=\frac{3}{2}h$，又$S_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}=\frac{1}{2}\times2^{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times6^{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}$，所以正三棱台$ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$的体积$V = V_{P - ABC}-V_{P - A_{1}B_{1}C_{1}}=\frac{1}{3}\times9\sqrt{3}\times\frac{3}{2}h-\frac{1}{3}\times\sqrt{3}\times\frac{1}{2}h=\frac{52}{3}$，解得$h=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，故$PO=\frac{3}{2}h = 2\sqrt{3}$。由正三棱台的性质可知，$O$为底面$ABC$的中心，则$OA=\frac{2}{3}\times\sqrt{6^{2}-3^{2}}=2\sqrt{3}$，因为$PO\perp$平面$ABC$，所以$\angle PAO$是$A_{1}A$与平面$ABC$所成的角，在$Rt\triangle PAO$中，$\tan\angle PAO=\frac{PO}{OA}=1$，故选 B。

8. 设函数$f(x)=(x + a)\ln(x + b)$. 若$f(x)\geq0$,则$a^{2}+b^{2}$的最小值为
A. $\frac{1}{8}$
B. $\frac{1}{4}$
C. $\frac{1}{2}$
D. 1

答案： 8.C 函数性质 + 不等式恒成立 + 最值(理性思维、数学探索) 等价转化法 由$f(x)\geq0$及$y = x + a$，$y=\ln(x + b)$单调递增，可得$x + a$与$\ln(x + b)$同正、同负或同为零，所以当$\ln(x + b)=0$时，$x + a = 0$，即$\begin{cases}x + b = 1\\x + a = 0\end{cases}$，所以$b = a + 1$，则$a^{2}+b^{2}=a^{2}+(a + 1)^{2}=2(a+\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{2}\geq\frac{1}{2}$，故选 C。
考情速递 以创新设计考查学生真实的数学能力 第 8 题给出的函数模型简单，要求学生推断两个参数平方和的最小值。本题可以通过分析函数的单调性和零点得出答案，不需要求导和分类讨论。

9. 对于函数$f(x)=\sin 2x$和$g(x)=\sin(2x-\frac{\pi}{4})$,下列说法中正确的有
A. $f(x)$与$g(x)$有相同的零点
B. $f(x)$与$g(x)$有相同的最大值
C. $f(x)$与$g(x)$有相同的最小正周期
D. $f(x)$与$g(x)$的图象有相同的对称轴

答案： 9.BC 三角函数的图象与性质 + 零点(理性思维) 直接法 对于 A，令$f(x)=0$，则$x=\frac{k\pi}{2}$，$k\in\mathbf{Z}$，又$g(\frac{k\pi}{2})\neq0$，故 A 错误；对于 B，$f(x)$与$g(x)$的最大值都为 1，故 B 正确；对于 C，$f(x)$与$g(x)$的最小正周期都为$\pi$，故 C 正确；对于 D，$f(x)$图象的对称轴方程为$2x=\frac{\pi}{2}+k\pi$，$k\in\mathbf{Z}$，即$x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}$，$k\in\mathbf{Z}$，$g(x)$图象的对称轴方程为$2x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+k\pi$，$k\in\mathbf{Z}$，即$x=\frac{3\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}$，$k\in\mathbf{Z}$，故$f(x)$与$g(x)$的图象的对称轴不相同，故 D 错误。故选 BC。