《2025年金考卷特快专递高中数学》

1. 已知集合U = {1,2,3,4,5},A = {1,3},B = {1,2,4},则($\complement_{U}B$)∪A =
A. {1,3,5}
B. {1,3}
C. {1,2,4}
D. {1,2,4,5}

答案： 1.A 集合的并、补运算 解法一 因为$U = \{1,2,3,4,5\},B = \{1,2,4\}$,所以$\complement_{U}B = \{3,5\}$,又$A = \{1,3\}$,所以$(\complement_{U}B)\cup A = \{1,3,5\}$. 故选 A.
解法二 因为$A = \{1,3\}$,所以$A\subseteq(\complement_{U}B)\cup A$,(题眼)所以集合$(\complement_{U}B)\cup A$中必含有元素 1,3,所以排除选项 C,D;观察选项 A,B,因为$5\notin B$,所以$5\in\complement_{U}B$,即$5\in(\complement_{U}B)\cup A$,故选 A.

2. 已知a,b∈R,则“$a^{2}=b^{2}$”是“$a^{2}+b^{2}=2ab$”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件

答案： 2.B 充分条件、必要条件、充要条件的概念(逻辑思维能力、运算求解能力) 解法一 当$a = 1,b = - 1$时,$a^{2}=b^{2}$,但$a^{2}+b^{2}\neq2ab$,所以“$a^{2}=b^{2}$”不是“$a^{2}+b^{2}=2ab$”的充分条件;反之,当$a^{2}+b^{2}=2ab$时,得$a = b$,从而$a^{2}=b^{2}$,所以“$a^{2}=b^{2}$”是“$a^{2}+b^{2}=2ab$”的必要条件. 所以“$a^{2}=b^{2}$”是“$a^{2}+b^{2}=2ab$”的必要不充分条件,故选 B.
解法二 因为“$a^{2}=b^{2}$”$\Leftrightarrow$“$a = - b$或$a = b$”,“$a^{2}+b^{2}=2ab$”$\Leftrightarrow$“$a = b$”,所以本题可以转化为判断“$a = - b$或$a = b$”与“$a = b$”的关系,又“$a = - b$或$a = b$”是“$a = b$”的必要不充分条件,(题眼)所以“$a^{2}=b^{2}$”是“$a^{2}+b^{2}=2ab$”的必要不充分条件. 故选 B.

3.设，则a，b，c的大小关系为

A.a＜b＜c　　　　　　　　B.b＜a＜c

C.c＜b＜a　　　　　　　　D.c＜a＜b

答案： 3.D 指数函数和幂函数的概念、单调性(逻辑思维能力)
教你审题 利用指数函数和幂函数的单调性，得到a,b,c的大小关系.
解法一 因为函数$y = 1.01^x$在(-∞,+∞)单调递增，(题眼)且0.6＞0.5＞0，所以$1.01^0.6＞1.01^0.5＞1，$即b＞a＞1；因为函数$g(x)=0.6^x$是减函数，且0.5＞0，所以$0.6^0.5＜0.6^0 = 1，$即c＜1.综上，b＞a＞c.故选D.
解法二 因为函数$y = 1.01^x$在(-∞,+∞)单调递增，且0.5＜0.6，所以$1.01^0.5＜1.01^0.6，$即a＜b；因为函数$y = x^0.5$在[0,+∞)单调递增，且0.6＜1.01，所以$0.6^0.5＜1.01^0.5，$即c＜a.故c＜a＜b.故选D.

4. 已知函数$y = f(x)$的部分图象如图,则$f(x)$的解析式可能为
　　　　　　　
A. $f(x)=\frac{5\text{e}^{x}-5\text{e}^{-x}}{x^{2}+2}$
B. $f(x)=\frac{5\sin x}{x^{2}+1}$
C. $f(x)=\frac{5\text{e}^{x}+5\text{e}^{-x}}{x^{2}+2}$
D. $f(x)=\frac{5\cos x}{x^{2}+1}$

答案： 4.D 函数的表示法+函数的奇偶性+零点(数形结合思想)
教你审题 先判断函数的奇偶性，再根据函数的零点进行判断.
解法一 由题图可知函数f(x)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数.(题眼)对于A，f(x)=5(e^x - e^(-x))/(x^2 + 2)，定义域为R，f(-x)=5(e^(-x) - e^x)/(x^2 + 2)=-f(x)，所以函数f(x)=5(e^x - e^(-x))/(x^2 + 2)是奇函数，所以排除A；对于B，f(x)=5sinx/(x^2 + 1)，定义域为R，f(-x)=5sin(-x)/(x^2 + 1)=-5sinx/(x^2 + 1)=-f(x)，所以函数f(x)=5sinx/(x^2 + 1)是奇函数，所以排除B；对于C，f(x)=5(e^x + e^(-x))/(x^2 + 2)，定义域为R，f(-x)=5(e^(-x) + e^x)/(x^2 + 2)=f(x)，所以函数f(x)=5(e^x + e^(-x))/(x^2 + 2)是偶函数，又x^2 + 2＞0，e^x + e^(-x)＞0，所以f(x)＞0恒成立，不符合题意，所以排除C.分析知，选项D符合题意，故选D.
解法二 由题图可知函数f(x)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数.(题眼)因为y = x^2 + 2是偶函数，y = e^x - e^(-x)是奇函数，所以f(x)=5(e^x - e^(-x))/(x^2 + 2)是奇函数，故排除A；因为y = x^2 + 1是偶函数，y = sinx是奇函数，所以f(x)=5sinx/(x^2 + 1)是奇函数，故排除B；因为x^2 + 2＞0，e^x + e^(-x)＞0，所以f(x)=5(e^x + e^(-x))/(x^2 + 2)＞0恒成立，不符合题意，故排除C.分析知，选项D符合题意，故选D.
方法总结
(1)函数y = a^x + a^(-x)(a＞0且a≠1)是偶函数，函数y = a^x - a^(-x)(a＞0且a≠1)是奇函数；
(2)奇函数×奇函数 = 偶函数，奇函数×偶函数 = 奇函数，偶函数×偶函数 = 偶函数，奇函数+奇函数 = 奇函数，偶函数+偶函数 = 偶函数.

5. 已知数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$. 若$a_{1}=2,a_{n + 1}=2S_{n}+2(n\in\mathbf{N}^{*})$,则$a_{4}=$
A. 16
B. 32
C. 54
D. 162

答案： 5.C 数列的概念和表示方法(逻辑思维能力、运算求解能力)
教你审题 由已知条件得出{a_n}是等比数列，从而得到a_4.
当n≥2(n∈N*)时，由a_{n + 1}=2S_n + 2，得a_n=2S_{n - 1}+2，两式相减，整理得a_{n + 1}=3a_n；当n = 1时，由已知，得a_2 = 6，则a_2 = 3a_1，所以数列{a_n}是首项为2，公比为3的等比数列，故a_4=2×3^3 = 54，故选C.

6. 函数$y = f(x)$的图象关于直线$x = 2$对称，且$f(x)$的一个周期为$4$，则$f(x)$的解析式可以是
A. $f(x)=\sin(\frac{\pi}{2}x)$
B. $f(x)=\cos(\frac{\pi}{2}x)$
C. $f(x)=\sin(\frac{\pi}{4}x)$
D. $f(x)=\cos(\frac{\pi}{4}x)$

答案： 6.B　函数的周期性、图象的对称性(逻辑思维能力、运算求解能力)
教你审题　利用对称轴和周期进行判断.
解法一　对于A,$f(x)=\sin(\frac{\pi}{2}x)$,最小正周期为$\frac{2\pi}{\frac{\pi}{2}} = 4$,因为$f(2)=\sin\pi = 0$,所以函数$f(x)=\sin(\frac{\pi}{2}x)$的图象不关于直线$x = 2$对称,故排除A;对于B,$f(x)=\cos(\frac{\pi}{2}x)$,最小正周期为$\frac{2\pi}{\frac{\pi}{2}} = 4$,因为$f(2)=\cos\pi = - 1$,所以函数$f(x)=\cos(\frac{\pi}{2}x)$的图象关于直线$x = 2$对称,(题眼)故选项B符合题意;对于C,D,函数$y=\sin(\frac{\pi}{4}x)$和$y=\cos(\frac{\pi}{4}x)$的最小正周期均为$\frac{2\pi}{\frac{\pi}{4}} = 8$,均不符合题意,故排除C,D.综上,选B.
解法二　对于A,$f(x)=\sin(\frac{\pi}{2}x)$的图象的对称轴为直线$x = 1 + 2k(k\in\mathbf{Z})$,故直线$x = 2$不是其对称轴,所以A错误.对于B,$f(x)=\cos(\frac{\pi}{2}x)$的图象的对称轴为直线$x = 2k(k\in\mathbf{Z})$,故直线$x = 2$是其一条对称轴;又$f(x)=\cos(\frac{\pi}{2}x)$的最小正周期为4,所以B正确.C和D对应函数的最小正周期均为8,所以C和D错误.故选B.

7. 鸢是鹰科的一种鸟，《诗经·大雅·旱麓》曰“鸢飞戾天，鱼跃于渊”. 鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得名（图1），寓意鹏程万里、前途无量. 通过随机抽样，收集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度（单位：cm），绘制对应散点图如图2.

计算得样本相关系数为0.8642，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为$\hat{y}=0.7501x + 0.6105$. 根据以上信息，如下判断正确的为
A. 花萼长度与花瓣长度不存在相关关系
B. 花萼长度与花瓣长度负相关
C. 花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值约为5.8612cm
D. 若选取其他品种鸢尾花进行抽样，所得花萼长度与花瓣长度的样本相关系数一定为0.8642

答案： 7.C　成对数据的统计相关性(数据分析能力、运算求解能力)
教你审题　根据散点图、样本相关系数和经验回归方程逐一进行判断.
样本相关系数为0.8642,这说明成对样本数据之间存在正相关关系,故A和B错误;把$x = 7$代入经验回归方程$\hat{y}=0.7501x + 0.6105$,得$\hat{y}=5.8612$,故C正确;由于样本发生变化,样本相关系数不一定相同,故D错误.选C.
归纳总结　
(1)因为样本相关系数$r=\frac{\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}\sum_{i = 1}^{n}(y_{i}-\overline{y})^{2}}}$,所以样本相关系数是由两个变量的样本数据决定的,当两个变量的样本数据发生变化时,样本相关系数一般也会发生变化.
(2)当$r＞0$时,称成对样本数据正相关;当$r＜0$时,称成对样本数据负相关;当$r = 0$时,只表明成对样本数据间没有线性相关关系,但不排除它们之间有其他相关关系.
(3)$|r|\leq1$.$|r|$越接近于1,成对样本数据的线性相关性越强;$|r|$越接近于0,成对样本数据线性相关性越弱.