《2025年金考卷特快专递高中数学》

18. (本小题13分)为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示. 在描述价格变化时，用“ + ”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“ - ”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同.
　
用频率估计概率.
(1)试估计该农产品价格“上涨”的概率.
(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的. 在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率.
(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响. 判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大. (结论不要求证明)

答案： 古典概型 + 相互独立事件同时发生的概率（理性思维、数学探索、数学应用）
信息提取 40天中该农产品价格“上涨”有16天，价格“不变”有10天，价格“下跌”有14天。
解：（1）根据题中数据，该农产品价格在40天中有16天“上涨”，（2分）
所以该农产品价格“上涨”的概率可以估计为$\frac{16}{40}=\frac{2}{5}$。（4分）
（2）设事件$A$：该农产品价格“上涨”，事件$B$：该农产品价格“下跌”，事件$C$：该农产品价格“不变”。
根据题中数据，$P(A)$可估计为$\frac{16}{40}=\frac{2}{5}$，$P(B)$可估计为$\frac{14}{40}=\frac{7}{20}$，$P(C)$可估计为$\frac{10}{40}=\frac{1}{4}$。（7分）
依题意，该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率为$C_{4}^{2}\times(P(A))^{2}\times C_{2}^{1}\times P(B)\times P(C)$。
因此所求的概率可估计为$6\times(\frac{2}{5})^{2}\times2\times\frac{7}{20}\times\frac{1}{4}=\frac{21}{125}$。（10分）
（3）价格“不变”的概率估计值最大.（提示：因为从第1天到第39天中有15天是价格“上涨”，在这15天中价格“上涨”之后的第一天，价格“上涨”的有4天，价格“不变”的有9天，价格“下跌”的有2天。又第40天是价格“上涨”，所以由前39天经验来看，第41天价格“不变”的概率估计值最大）（13分）

19. (本小题15分)已知椭圆E:$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$(a ＞ b ＞ 0)的离心率为$\frac{\sqrt{5}}{3}$，A，C分别是E的上、下顶点，B，D分别是E的左、右顶点，|AC| = 4.
(1)求E的方程；
(2)设P为第一象限内E上的动点，直线PD与直线BC交于点M，直线PA与直线y = -2交于点N，求证：MN//CD.

答案： 椭圆的标准方程 + 直线与椭圆的位置关系 + 两条直线相交 + 直线平行（理性思维、数学探索、数学应用）
解题思路 （1）根据已知条件求出$a$和$b$的值，写出椭圆的方程；（2）要证$MN// CD$，需证两直线的斜率相等，关键是求出$M$，$N$两点的坐标。
解：（1）由题设，得$\begin{cases}2b = 4\\\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}\\a^{2}=b^{2}+c^{2}\end{cases}$，
解得$a = 3$，$b = 2$。（3分）
所以$E$的方程为$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$。（4分）
（2）设直线$PD$的方程为$y = k(x - 3)$，其中$k\lt-\frac{2}{3}$。
由$\begin{cases}y = k(x - 3)\\\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1\end{cases}$，得$P(\frac{27k^{2}-12}{9k^{2}+4},\frac{-24k}{9k^{2}+4})$。（7分）
直线$BC$的方程为$y = -\frac{2}{3}x - 2$。
由$\begin{cases}y = -\frac{2}{3}x - 2\\y = k(x - 3)\end{cases}$，得$M(\frac{9k - 6}{3k + 2},\frac{-12k}{3k + 2})$。（9分）
直线$PA$的方程为$y = -\frac{6k + 4}{9k - 6}x + 2$。
令$y = -2$，得$N(\frac{18k - 12}{3k + 2},-2)$。（11分）
设直线$MN$的斜率为$k_{1}$，则
$k_{1}=\frac{y_{M}-y_{N}}{x_{M}-x_{N}}=\frac{\frac{-12k}{3k + 2}+2}{\frac{9k - 6}{3k + 2}-\frac{18k - 12}{3k + 2}}=\frac{-6k + 4}{-9k + 6}=\frac{2}{3}$。（13分）
又直线$CD$的斜率为$\frac{2}{3}$，且直线$MN$与直线$CD$不重合，所以$MN// CD$。（15分）