《2025年金考卷特快专递高中数学》

1.已知集合$M = \{x|x + 2\geqslant0\}$，$N = \{x|x - 1 ＜ 0\}$，则$M\cap N =$
A.$\{x|-2\leqslant x ＜ 1\}$　　　
　B.$\{x|-2 ＜ x\leqslant1\}$
C.$\{x|x\geqslant -2\}$　　　　
　D.$\{x|x ＜ 1\}$

答案： 1. A 集合的交运算+不等式的解法(理性思维) 由题意得,$M = \{x|x\geq - 2\},N = \{x|x ＜ 1\}$,(题眼)所以$M\cap N = \{x|-2\leq x ＜ 1\}$,故选A.

2.在复平面内，复数$z$对应的点的坐标是$(-1,\sqrt{3})$，则$z$的共轭复数$\overline{z} =$
A.$1 + \sqrt{3}\text{i}$　　　　　　
　B.$1 - \sqrt{3}\text{i}$
C.$-1 + \sqrt{3}\text{i}$　　　　　
　D.$-1 - \sqrt{3}\text{i}$

答案： 2. D 复数的几何意义+共轭复数(理性思维) 由题意知,$z = - 1+\sqrt{3}i$,(题眼)则$\overline{z} = - 1-\sqrt{3}i$,故选D.

3.已知向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$满足$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = (2,3)$，$\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} = (-2,1)$，则$|\boldsymbol{a}|^{2} - |\boldsymbol{b}|^{2} =$
A.$-2$　　
　B.$-1$　　
　C.$0$　　　
　D.$1$

答案： 3. B 平面向量的坐标运算+平面向量的数量积+向量的模(理性思维) 解法一 因为$a + b=(2,3),a - b = (-2,1)$,所以$|a|^{2}-|b|^{2}=a^{2}-b^{2}=(a + b)\cdot(a - b)=(2,3)\cdot(-2,1)=2\times(-2)+3\times1 = - 1$,故选B.
解法二 因为$a + b=(2,3)$ ①,$a - b = (-2,1)$ ②,所以①+②得,$2a=(2,3)+(-2,1)=(0,4)$,即$a=(0,2)$;① - ②得,$2b=(2,3)-(-2,1)=(4,2)$,即$b=(2,1)$. 所以$|a|^{2}-|b|^{2}=4 - 5 = - 1$,故选B.

4.下列函数中，在区间$(0, +\infty)$上单调递增的是
A.$f(x) = -\ln x$　　　　
　B.$f(x) = \frac{1}{2^{x}}$
C.$f(x) = -\frac{1}{x}$　　　　
　D.$f(x) = 3^{|x - 1|}$

答案： 4. C 基本初等函数的单调性(理性思维、数学探索) 对A,因为函数$y = \ln x$在$(0,+\infty)$上单调递增,所以$f(x)=-\ln x$在$(0,+\infty)$上单调递减,所以A不符合要求;对B,因为$f(x)=\frac{1}{2^{x}}=(\frac{1}{2})^{x}$在$(0,+\infty)$上单调递减,所以B不符合要求;对C,因为函数$y=\frac{1}{x}$在$(0,+\infty)$上单调递减,(题眼)所以$f(x)=-\frac{1}{x}$在$(0,+\infty)$上单调递增,所以C符合要求;对D,当$0 ＜ x ＜ 1$时,$y = 3^{|x - 1|}=3^{1 - x}$在$(0,1)$上单调递减,所以D不符合题意. 故选C.
方法总结 ①若$k ＞ 0$,则函数$y = f(x)$与$y = kf(x)$的单调性相同;若$k ＜ 0$,则函数$y = f(x)$与$y = kf(x)$的单调性相反. ②若函数$y = f(x)$在区间$I$上恒正(或恒负),则函数$f(x)$与函数$\frac{1}{f(x)}$在区间$I$上的单调性相反. ③若函数$y = f(x)$和$y = g(x)$在区间$I$上均单调递增,则函数$f(x)+g(x)$在区间$I$上单调递增;若函数$y = f(x)$和$y = g(x)$在区间$I$上均单调递减,则函数$f(x)+g(x)$在区间$I$上单调递减. ④若函数$y = f(x)\geq0$在区间$I$上恒成立,则函数$f(x)$与$\sqrt{f(x)}$在区间$I$上的单调性相同. ⑤复合函数的单调性:若$y = f[g(x)]$,令$t = g(x)$,则函数$y = f[g(x)]$的单调性是由函数$t = g(x)$和$y = f(t)$共同决定的. 若函数$t = g(x)$与$y = f(t)$的单调性相同,则函数$y = f[g(x)]$单调递增;若函数$t = g(x)$与$y = f(t)$的单调性相反,则函数$y = f[g(x)]$单调递减. 简称“同增异减”.

5.在$(2x - \frac{1}{x})^{5}$的展开式中，$x$的系数为
A.$-40$　　
　B.$40$　　　
　C.$-80$　　
　D.$80$

答案： 5. D 二项式定理+排列组合(理性思维) 解法一 $(2x-\frac{1}{x})^{5}$的展开式的通项公式为$T_{k + 1}=C_{5}^{k}(2x)^{5 - k}(-\frac{1}{x})^{k}=(-1)^{k}C_{5}^{k}2^{5 - k}\cdot x^{5 - 2k}$,(题眼)令$5 - 2k = 1$,解得$k = 2$,所以$x$的系数为$(-1)^{2}C_{5}^{2}2^{3}=80$,故选D.
解法二 将$(2x-\frac{1}{x})^{5}$看成5个$(2x-\frac{1}{x})$相乘,若展开式中出现含$x$的项,则在其中3个$(2x-\frac{1}{x})$中取$2x$,剩下的两个$(2x-\frac{1}{x})$中取$-\frac{1}{x}$,得$C_{5}^{3}(2x)^{3}(-\frac{1}{x})^{2}=80x$,(题眼)所以$x$的系数为80,故选D.

6. M到直线x = -3的距离为5,则|MF| =
　
A.7　　　
　B.6　　　
　C.5　　　
　D.4

答案： 6.D 抛物线的定义、准线方程、焦点坐标 + 两点间的距离 + 点到直线的距离(理性思维、数学探索) 通解(直接法) 设$M(x_{0},y_{0})$，$x_{0}\geq0$，因为点$M$到直线$x = -3$的距离为$5$，所以$x_{0}-(-3)=5$，解得$x_{0}=2$，又点$M$在抛物线$C:y^{2}=8x$上，所以$y_{0}^{2}=16$，即$y_{0}=\pm4$，所以$M(2,\pm4)$，(题眼) 又$F(2,0)$，所以$|MF| = 4$，故选 D.
优解(定义法) 易知抛物线$C:y^{2}=8x$的准线方程为$x = -2$，因为点$M$到直线$x = -3$的距离为$5$，所以点$M$到直线$x = -2$的距离为$4$，(题眼) 则依据抛物线的定义可知$|MF| = 4$，故选 D.
方法总结 抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离.

7.在△ABC中,(a + c)(sin A - sin C) = b(sin A - sin B),则C =
　
A.$\frac{\pi}{6}$　　　
　B.$\frac{\pi}{3}$　　　
　C.$\frac{2\pi}{3}$　　
　D.$\frac{5\pi}{6}$

答案： 7.B 正、余弦定理(理性思维) 因为$(a + c)(\sin A-\sin C)=b(\sin A-\sin B)$，所以结合正弦定理得，$(a + c)(a - c)=b(a - b)$，即$a^{2}-c^{2}=ab - b^{2}$，即$a^{2}+b^{2}-c^{2}=ab$，(题眼) 结合余弦定理得，$\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}=\frac{ab}{2ab}=\frac{1}{2}$，又$0 ＜ C ＜ \pi$，所以$C=\frac{\pi}{3}$，故选 B.

8.若xy≠0,则“x + y = 0”是“$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=-2$”的
　
A.充分不必要条件
　
B.必要不充分条件
　
C.充要条件
　
D.既不充分也不必要条件

答案： 8.C 充分必要条件的判断(理性思维、数学探索) 因为$xy\neq0$，所以$x\neq0$且$y\neq0$. 若$x + y = 0$，则$x = -y\neq0$，所以$\frac{x}{y}=-1$，所以$x+\frac{x}{y}=-2$；若$x+\frac{x}{y}=-2$，则$\frac{x^{2}+y^{2}}{xy}=-2$，所以$x^{2}+y^{2}=-2xy$，所以$x^{2}+y^{2}+2xy = 0$，(题眼) 即$(x + y)^{2}=0$，所以$x + y = 0$. 综上，若$xy\neq0$，则“$x + y = 0$”是“$x+\frac{x}{y}=-2$”的充要条件. 故选 C.

9.坡屋顶是我国传统建筑造型之一,蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓,展现造型之美.如图,某坡屋可视为一个五面体,其中两个面是全等的等腰梯形,两个面是全等的等腰三角形.
　　若AB = 25m,BC = 10m,且等腰梯形所在平面、等腰三角形所在平面与平面ABCD的夹角的正切值均为$\frac{\sqrt{14}}{5}$,则该五面体的所有棱长之和为
　　　　　　
　　
A.102m　
　B.112m　
　C.117m　
　D.125m

答案：
9.C 二面角的定义 + 线面垂直的判定和性质(理性思维、数学探索、数学应用)
第 1 步:作辅助线，找到二面角的平面角
如图，过$E$作$EM\perp$平面$ABCD$，垂足为$M$，取$AD$的中点$Q$，连接$MQ$，$EQ$.

因为$\triangle AED$为等腰三角形，所以$EQ\perp AD$.
因为$EM\perp$平面$ABCD$，$AD\subset$平面$ABCD$，所以$EM\perp AD$.
因为$\begin{cases}EQ\perp AD\\EM\perp AD\\EQ\cap EM = E\end{cases}$，所以$AD\perp$平面$EMQ$，故$AD\perp MQ$.
由二面角的定义知$\angle EQM$为平面$ADE$与平面$ABCD$夹角的平面角.
过$M$作$MN\perp AB$，垂足为$N$，延长$NM$交$DC$于$N'$，连接$EN$，$EN'$.
因为$EM\perp$平面$ABCD$，$AB\subset$平面$ABCD$，所以$EM\perp AB$.
因为$\begin{cases}EM\perp AB\\MN\perp AB\\EM\cap MN = M\end{cases}$，所以$AB\perp$平面$EMN$，故$AB\perp EN$.
由二面角的定义知$\angle ENM$为平面$ABFE$与平面$ABCD$夹角的平面角.
因为$EF// AB$，$EF// DC$，所以$AB// DC$，所以$MN'\perp DC$，$CD\perp$平面$ENN'$，所以$CD\perp EN'$，所以$\angle EN'M$为平面$CDEF$与平面$ABCD$夹角的平面角.
第 2 步:证明$AD\perp AB$
由题知$\angle ENM=\angle EN'M$，所以$EN = EN'$，又$EM\perp NN'$，所以$M$为$NN'$的中点，所以$QM// AN$，则$AD\perp AB$.
第 3 步:计算$EM$
因为$\tan\angle EQM=\tan\angle ENM=\frac{\sqrt{14}}{5}$，即$\frac{EM}{MQ}=\frac{EM}{MN}=\frac{\sqrt{14}}{5}$，所以$MQ = MN=\frac{1}{2}BC = 5$，所以$EM=\sqrt{14}$.
第 4 步:计算$AE$，$EF$
在$Rt\triangle EMQ$中，由勾股定理$EM^{2}+MQ^{2}=EQ^{2}$，得$EQ=\sqrt{39}$.
在$Rt\triangle AEQ$中，由勾股定理$AQ^{2}+EQ^{2}=AE^{2}$，得$AE = 8$.
$EF = AB - 2MQ = 15$.
第 5 步:计算所有棱长之和
故该五面体的所有棱长之和为$2AB + 2BC + 4AE + EF = 117(\text{m})$.

10. 已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{n + 1} = \frac{1}{4}(a_{n} - 6)^{2} + 6(n = 1,2,3,\cdots)$，则
A. 当$a_{1} = 3$时，$\{ a_{n}\}$为递减数列，且存在常数$M\leqslant0$，使得$a_{n} ＞ M$恒成立
B. 当$a_{1} = 5$时，$\{ a_{n}\}$为递增数列，且存在常数$M\leqslant6$，使得$a_{n} ＜ M$恒成立
C. 当$a_{1} = 7$时，$\{ a_{n}\}$为递减数列，且存在常数$M ＞ 6$，使得$a_{n} ＞ M$恒成立
D. 当$a_{1} = 9$时，$\{ a_{n}\}$为递增数列，且存在常数$M ＞ 0$，使得$a_{n} ＜ M$恒成立

答案： 10. B 数列的单调性(理性思维) 对A，当$a_{1}=3$时，$a_{2}=\frac{1}{4}\times(-3)^{3}+6$，$a_{3}=\frac{1}{4^{4}}\times(-3)^{9}+6$，…，所以$\{a_{n}\}$为递减数列. 又三次函数$y = x^{3}$单调递增，所以$y=\frac{1}{4}(x - 6)^{3}+6$单调递增，则当$n\rightarrow+\infty$时，$a_{n}\rightarrow-\infty$，所以$a_{n}$无最小值，故A错误.
对B，当$a_{1}=5$时，$a_{2}=-\frac{1}{4}+6$，$a_{3}=-\frac{1}{4^{4}}+6$，$a_{4}=-\frac{1}{4^{13}}+6$，…，所以$\{a_{n}\}$为递增数列，且$\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}a_{n}=6$. 取$M = 6$，则对任意$n\in\mathbf{N}^{*}$，都有$a_{n}＜M = 6$，故B正确.
对C，当$a_{1}=7$时，$a_{2}=\frac{1}{4}+6$，$a_{3}=\frac{1}{4^{4}}+6$，易知$\{a_{n}\}$为递减数列，且$\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}a_{n}=6$，故不存在$M＞6$，使得$a_{n}＞M$恒成立，故C错误.
对D，当$a_{1}=9$时，$a_{2}=\frac{3^{3}}{4}+6$，$a_{3}=\frac{3^{9}}{4^{4}}+6$，易知$\{a_{n}\}$为递增数列，且当$n\rightarrow+\infty$时，$a_{n}\rightarrow+\infty$，所以$a_{n}$无最大值，故D错误.
方法总结 面对新型数列题，简单列举前几项找规律是一个解决此类题目的好方法，同时我们要学会理解选项所表达的意思，转化为数学符号和知识，从而分析推理.

11. 已知函数$f(x) = 4^{x} + \log_{2}x$，则$f(\frac{1}{2}) = $_______.

答案： 11. 1 指数运算+对数运算(理性思维) 因为$f(x)=4^{x}+\log_{2}x$，所以$f(\frac{1}{2})=4^{\frac{1}{2}}+\log_{2}\frac{1}{2}=(2^{2})^{\frac{1}{2}}+\log_{2}2^{-1}=2 - 1 = 1$.

12. 已知双曲线$C$的焦点为$(-2,0)$和$(2,0)$，离心率为$\sqrt{2}$，则$C$的方程为________________.

答案： 12. $\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{2}=1$ 双曲线的几何性质+双曲线的标准方程(理性思维、数学探索) 通解 因为双曲线$C$的焦点为$(-2,0)$，$(2,0)$，所以$c = 2$，且焦点在$x$轴上. 又离心率$e=\sqrt{2}$，(题眼)所以$\frac{c}{a}=\sqrt{2}$，所以$a=\sqrt{2}$，则$b^{2}=c^{2}-a^{2}=2$，所以双曲线$C$的标准方程为$\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{2}=1$.
优解 因为双曲线$C$的离心率$e=\sqrt{2}$，所以该双曲线为等轴双曲线，(题眼)即$a = b$. 又双曲线$C$的焦点为$(-2,0)$，$(2,0)$，所以$c = 2$，且焦点在$x$轴上，所以$a^{2}+b^{2}=c^{2}=4$，所以$a^{2}=b^{2}=2$，所以双曲线$C$的标准方程为$\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{2}=1$.
方法总结 等轴双曲线$\Leftrightarrow$渐近线互相垂直$\Leftrightarrow$离心率为$\sqrt{2}$.

13. 已知命题$p$：若$\alpha,\beta$为第一象限角，且$\alpha ＞ \beta$，则$\tan\alpha ＞ \tan\beta$. 能说明$p$为假命题的一组$\alpha,\beta$的值为$\alpha = $________，$\beta = $________.

答案： 13. $\frac{13\pi}{6}$ $\frac{\pi}{4}$(答案不唯一) 象限角的概念+终边相同的角+正切函数的周期性(理性思维、数学探索) 若命题$p$为假命题，则找到一组$\alpha,\beta$，满足$\alpha＞\beta$，$\tan\alpha\leqslant\tan\beta$即可. 如取$\alpha=\frac{13\pi}{6}$，$\beta=\frac{\pi}{4}$，此时，满足$\alpha,\beta$为第一象限角，且$\alpha＞\beta$，但$\tan\alpha=\tan\frac{13\pi}{6}=\tan\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}＜\tan\beta=\tan\frac{\pi}{4}=1$，即此时命题$p$为假命题.

14. 我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”. 已知9枚环权的质量(单位：铢)从小到大构成项数为9的数列$\{ a_{n}\}$，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且$a_{1} = 1$，$a_{5} = 12$，$a_{9} = 192$，则$a_{7} = $________；数列$\{ a_{n}\}$所有项的和为________.

答案： 14. 48 384 等差数列的性质+等比数列的性质+等比数列的通项公式及前$n$项和公式(理性思维、数学探索、数学应用) 通解 由题意可知数列$\{a_{n}\}$的各项均为正数，数列$\{a_{n}\}$共9项，且后7项成等比数列，即$a_{3},a_{4},a_{5},a_{6},a_{7},a_{8},a_{9}$成等比数列，设公比为$q$，则$q＞0$，又$a_{5}=12$，$a_{9}=192$，所以$q^{4}=\frac{a_{9}}{a_{5}}=\frac{192}{12}=16$，所以$q = 2$，所以$a_{7}=a_{5}q^{2}=12\times2^{2}=48$. $a_{3}=\frac{a_{5}}{q^{2}}=\frac{12}{2^{2}}=3$，因为数列$\{a_{n}\}$的前3项成等差数列，即$a_{1},a_{2},a_{3}$成等差数列，且$a_{1}=1$，所以$2a_{2}=a_{1}+a_{3}=1 + 3 = 4$，则$a_{2}=2$. 所以$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+\cdots+a_{9}=1 + 2+(a_{3}+a_{4}+\cdots+a_{9})=3+\frac{3\times(1 - 2^{7})}{1 - 2}=384$.
优解 由题意可知数列$\{a_{n}\}$的各项均为正数，数列$\{a_{n}\}$共9项，且后7项成等比数列，即$a_{3},a_{4},a_{5},a_{6},a_{7},a_{8},a_{9}$成等比数列，设公比为$q$，则$q＞0$，又$a_{5}=12$，$a_{9}=192$，所以$a_{7}^{2}=a_{5}a_{9}=12\times192$，所以$a_{7}=48$. 因为$a_{5}^{2}=a_{3}a_{7}$，所以$a_{3}=\frac{a_{5}^{2}}{a_{7}}=3$. 由$q^{2}=\frac{a_{5}}{a_{3}}=\frac{12}{3}=4$，得$q = 2$. 因为数列$\{a_{n}\}$的前3项成等差数列，即$a_{1},a_{2},a_{3}$成等差数列，且$a_{1}=1$，所以$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+\cdots+a_{9}=(a_{1}+a_{2}+a_{3})+(a_{3}+a_{4}+\cdots+a_{9})-a_{3}=\frac{(1 + 3)\times3}{2}+\frac{3\times(1 - 2^{7})}{1 - 2}-3=384$.