《2025年金考卷特快专递高中数学》

17. (15分)如图,平行六面体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中,底面$ABCD$是边长为2的正方形,$O$为$AC$与$BD$的交点,$AA_{1}=2,\angle C_{1}CB=\angle C_{1}CD,\angle C_{1}CO = 45^{\circ}$.
(1)证明:$C_{1}O\perp$平面$ABCD$;
(2)求二面角$B - AA_{1} - D$的正弦值.
　　　　　　　　

答案：
解：
(1)第1步：证明△C₁CD≌△C₁CB，利用等腰三角形的性质证明C₁O⊥BD
如图，连接C₁B，C₁D.因为∠C₁CB = ∠C₁CD，CB = CD，
所以△C₁CD≌△C₁CB，故C₁B = C₁D.
又O为BD的中点，所以C₁O⊥BD.

第2步：求出△C₁OC的三边长，证明C₁O⊥CO
因为∠C₁CO = 45°，CC₁ = AA₁ = 2，CO = √2，
所以由余弦定理得C₁O = √(CC₁² + CO² - 2CC₁·CO·cos∠C₁CO) = √2，
因此C₁O² + CO² = C₁C²，所以C₁O⊥CO.
第3步：根据线面垂直的判定定理证明C₁O⊥平面ABCD
因为BD∩CO = O，所以C₁O⊥平面ABCD. (6分)
(2)第1步：建立空间直角坐标系，并写出相关点的坐标
以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O - xyz.
由题设得B(√2,0,0)，A(0, -√2,0)，A₁(0, -2√2,√2)，D( -√2,0,0)，所以AA₁→ = (0, -√2,√2)，AB→ = (√2,√2,0)，AD→ = ( -√2,√2,0). (9分)
第2步：求出两个平面的法向量
设m = (x,y,z)是平面AA₁B的法向量，则
{m·AA₁→ = 0, m·AB→ = 0}，即{-√2y + √2z = 0, √2x + √2y = 0}，可取m = (1, -1, -1).
设n = (p,q,r)是平面AA₁D的法向量，则
{n·AA₁→ = 0, n·AD→ = 0}，即{-√2q + √2r = 0, -√2p + √2q = 0}，可取n = (1,1,1). (13分)
第3步：利用向量的夹角公式，计算出两个平面的法向量夹角的余弦值，进而求出二面角的正弦值
所以cos〈m,n〉 = m·n / (|m|·|n|) = -1/3.
设二面角B - AA₁ - D的大小为θ，则|cosθ| = |cos〈m,n〉| = 1/3，
又θ∈[0,π]，
所以sinθ = √(1 - cos²θ) = 2√2/3，
因此二面角B - AA₁ - D的正弦值为2√2/3. (15分)
考情速递 立体几何解答题常考线面关系和二面角，例如2023年新课标Ⅱ卷第20题，2023年全国乙卷理科第19题等，第
(1)问都是考查线、面之间的垂直关系或者平行关系，2023年新课标Ⅱ卷第20题第
(2)问、2023年全国乙卷理科第19题第
(3)问都是考查二面角的正弦值，解法与本题高度相似.

18. (17分)已知抛物线$C:y^{2}=4x$的焦点为$F$,过$F$的直线$l$交$C$于$A,B$两点,过$F$与$l$垂直的直线交$C$于$D,E$两点,其中$B,D$在$x$轴上方,$M,N$分别为$AB,DE$的中点.
(1)证明:直线$MN$过定点;
(2)设$G$为直线$AE$与直线$BD$的交点,求$\triangle GMN$面积的最小值.

答案：
解：
(1)第1步：设点A，B的坐标，直线l的方程
设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，不妨设x₁ ＜ x₂，如图.
设l:x = my + 1，则m ＞ 0.
第2步：联立方程，表示出M，N的坐标
由{y² = 4x, x = my + 1}，得y² - 4my - 4 = 0，
故y₁ + y₂ = 4m，y₁y₂ = -4，(y₁ + y₂)/2 = 2m，(x₁ + x₂)/2 = (m(y₁ + y₂) + 2)/2 = 2m² + 1.
所以M(2m² + 1,2m).
同理可得N(2/m² + 1, -2/m).
第3步：分类讨论，得直线MN的方程，定点坐标
若m≠1，则直线MN的斜率kMN = (2m - ( -2/m))/(2m² + 1 - (2/m² + 1)) = m/(m² - 1)，
所以直线MN:y = m/(m² - 1)(x - 2m² - 1) + 2m = m/(m² - 1)(x - 3)，直线MN过点(3,0).
若m = 1，则直线MN:x = 3，直线MN过点(3,0).
综上，直线MN过定点(3,0). (8分)

(2)第1步：作辅助线，将△GMN的面积转化为四边形ANMD的面积
连接AD，设H为AD的中点，S为直线GM与AD的交点.
连接MH，GH，DM，由M，H分别为AB，AD的中点知MH//DG，所以S△GHD = S△MGD，故S△GSH = S△MSD.
设T为直线GN与AD的交点，
连接NH，AN，由N，H分别为DE，AD的中点知HN//GA，
所以S△GHN = S△AHN，所以S△GHT = S△TAN.
所以S△GMN = S四边形ADMN. (14分)
第2步：计算四边形ANMD的面积，并求出其最小值
由
(1)得|AB| = √(1 + m²)|y₁ - y₂| = 4(m² + 1)，
同理可得|DE| = 4(1/m² + 1).
所以S△GMN = S四边形ADMN = 1/2×|DN|×|AM| = 1/8×|AB|×|DE| = 2(m² + 1)(1/m² + 1) = 2(2 + m² + 1/m²)≥8，当且仅当m² = 1时等号成立.
因此△GMN面积的最小值为8. (17分)