《2025年金考卷特快专递高中数学》

13. 已知轴截面为正三角形的圆锥$MM'$的高与球$O$的直径相等，则圆锥$MM'$的体积与球$O$的体积的比值是________，圆锥$MM'$的表面积与球$O$的表面积的比值是________.

答案： $\frac{2}{3}$ 1 （答对一空给 3 分） 圆锥的表面积与体积 + 球的表面积与体积 设正三角形的边长为$2r$，则正三角形的高为$\sqrt{3}r$，此时圆锥$MM'$的底面半径为$r$，母线长$l = 2r$，高为$\sqrt{3}r$，（题眼）故圆锥$MM'$的体积$V_1=\frac{1}{3}\times\pi r^2\times\sqrt{3}r=\frac{\sqrt{3}}{3}\pi r^3$，圆锥$MM'$的表面积$S_1=\pi r^2+\pi rl = 3\pi r^2$。因为正三角形的高与球$O$的直径相等，所以球$O$的半径$R = \frac{\sqrt{3}}{2}r$，故球$O$的体积$V_2=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{\sqrt{3}}{2}\pi r^3$，球$O$的表面积$S_2 = 4\pi R^2 = 3\pi r^2$。因此，圆锥$MM'$的体积与球$O$的体积的比值为$\frac{V_1}{V_2}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}\pi r^3}{\frac{\sqrt{3}}{2}\pi r^3}=\frac{2}{3}$，圆锥$MM'$的表面积与球$O$的表面积的比值为$\frac{S_1}{S_2}=1$。

14. 以$\max M$表示数集$M$中最大的数. 设$0 ＜ a ＜ b ＜ c ＜ 1$，已知$b\geq 2a$或$a + b\leq 1$，则$\max \{ b - a,c - b,1 - c\}$的最小值为________.

答案： $\frac{1}{5}$ 不等式的性质 设$H = \max\{b - a,c - b,1 - c\}$，则$H\geq b - a$，$H\geq c - b$，$H\geq1 - c$。
(1)若$b\geq2a$，则$b - a\geq a$，所以$H\geq b - a\geq a$，$4H\geq b - a + c - b + 1 - c + a = 1$，$H\geq\frac{1}{4}$，当$b = 2a$，$b - a = c - b = 1 - c$时，等号成立。
(2)若$a + b\leq1$，则$-a\geq b - 1$，$H\geq b - a\geq2b - 1$，$2H\geq2c - 2b$，$2H\geq2 - 2c$，$5H\geq2b - 1 + 2c - 2b + 2 - 2c = 1$，$H\geq\frac{1}{5}$，当$a + b = 1$，$b - a = c - b = 1 - c$时，等号成立，此时$a = \frac{2}{5}$，$b = \frac{3}{5}$，$c = \frac{4}{5}$。
综上，$\max\{b - a,c - b,1 - c\}$的最小值为$\frac{1}{5}$，此时$a = \frac{2}{5}$，$b = \frac{3}{5}$，$c = \frac{4}{5}$。

15.（13分）已知曲线$y = f(x)=\ln x + x^{2}+ax + 2$在点$(2,f(2))$处的切线与直线$2x + 3y = 0$垂直.
　(1)求$a$；
　(2)求$f(x)$的单调区间和极值.

答案： 导数的几何意义 + 利用导数研究函数的单调性、极值
解：
(1)第 1 步：求函数的导数
$f'(x)=\frac{1}{x}+2x + a$。
第 2 步：求参数$a$的值
由题意知$f'(2)=\frac{3}{2}$，即$\frac{1}{2}+4 + a=\frac{3}{2}$，所以$a = - 3$。 （5 分）
(2)第 1 步：求出函数的定义域、解析式、导函数
$f(x)$的定义域为$(0,+\infty)$。
由
(1)知$f(x)=\ln x+x^2 - 3x + 2$，$f'(x)=\frac{(2x - 1)(x - 1)}{x}$。
第 2 步：根据导函数的正负判断函数的单调性，求出极值
当$x\in(0,\frac{1}{2})$时，$f'(x)＞0$；当$x\in(\frac{1}{2},1)$时，$f'(x)＜0$；当$x\in(1,+\infty)$时，$f'(x)＞0$。
所以$f(x)$的单调递增区间是$(0,\frac{1}{2})$，$(1,+\infty)$，单调递减区间是$(\frac{1}{2},1)$。 （10 分）
当$x = \frac{1}{2}$时，$f(x)$取得极大值$f(\frac{1}{2})=\frac{3}{4}-\ln2$；当$x = 1$时，$f(x)$取得极小值$f(1)=0$。 （13 分）

16.(15分)盒中有标记数字1,2,3,4的小球各2个，随机一次取出3个小球.
　(1)求取出的3个小球上的数字两两不同的概率;
　(2)记取出的3个小球上的最小数字为X,求X的分布列及数学期望E(X).

答案：
16.计数原理+离散型随机变量的分布列、数学期望
解：
(1)第1步：计算从8个小球中随机一次取出3个小球的所有可能结果
从8个小球中，随机一次取出3个小球，
共有$C_{8}^{3}=\frac{8\times7\times6}{3\times2\times1}=56$(种)结果.
第2步：求出3个小球上的数字两两不同的所有可能结果
先从数字1,2,3,4中选择3个数字，再从选定的数字中各取1个小球，共有$C_{4}^{3}C_{2}^{1}C_{2}^{1}C_{2}^{1}=32$(种)结果.
第3步：计算相关的概率
记事件A：“取出的3个小球上的数字两两不同”，
则$P(A)=\frac{32}{56}=\frac{4}{7}$.
所以取出的3个小球上的数字两两不同的概率为$\frac{4}{7}$.(5分)
(2)第1步：确定X的所有可能取值
因为X为取出的3个小球上的最小数字，所以X的所有可能取值为1,2,3，
第2步：计算X的每个取值对应的概率
$P(X = 1)=\frac{C_{2}^{2}C_{6}^{1}+C_{2}^{1}C_{6}^{2}}{C_{8}^{3}}=\frac{9}{14}$，
$P(X = 2)=\frac{C_{2}^{2}C_{4}^{1}+C_{2}^{1}C_{4}^{2}}{C_{8}^{3}}=\frac{2}{7}$，
$P(X = 3)=\frac{C_{2}^{2}C_{2}^{1}+C_{2}^{1}C_{2}^{2}}{C_{8}^{3}}=\frac{1}{14}$.(12分)
第3步：列出X的分布列，并求出数学期望
故X的分布列为

X的数学期望$E(X)=1\times\frac{9}{14}+2\times\frac{2}{7}+3\times\frac{1}{14}=\frac{10}{7}$.(15分)